数学2.2.1 不等式及其性质当堂达标检测题

2.2　不等式

2.2.1　不等式及其性质

必备知识基础练

1.(多选题)(2021湖北高一开学考试)下列命题中为真命题的是(　　)

A.若a>b,则>1

B.若ac2≥bc2,则a≥b

C.若c>a>b>0,则

D.若a>b,则

2.设a,b,c,d∈R,a>b,c<d,则下列不等式中一定成立的是(　　)

A.a+c>b+d B.a-c>b-d

C.ac>bd D.

3.若1<a<3,-4<b<2,那么a-|b|的取值范围是(　　)

A.(-3,3] B.(-3,5) C.(-3,3) D.(1,4)

4.下列四个不等式:①a<0<b;②b<a<0;③b<0<a;④0<b<a,且ab<0.其中能使成立的是　　　　　. 

5.已知a,b,c,d均为实数,有下列命题:①若ab>0,bc-ad>0,则>0;②若a<b<0,c<d<0,则ac>bd;③若bc-ad>0,bd>0,则.其中真命题为　　　　. 

6.已知a>b>0,c<d<0,m<0,证明:

(1);

(2).

7.已知-1≤x+y≤4,且2≤x-y≤3,求z=2x-3y的取值范围.

关键能力提升练

8.已知a,b,c,d为实数,则下列命题中是真命题的是(　　)

A.若a<b且ab≠0,则

B.若且c≠0,则a>b

C.若a2<b2,c2<d2,则a2-c2<b2-d2

D.若a2<b2,c2<d2,则a2c2<b2d2

9.(多选题)已知a>b>1,给出下列不等式:①a2>b2;②;③a3+b3>2a2b;④a+>b+.

其中一定成立的有(　　)

A.① B.② C.③ D.④

10.若a,b,c满足b+c=3a2-4a+6,b-c=a2-4a+4,试比较a,b,c三个实数的大小.

11.(1)若bc-ad≥0,bd>0,求证:;

(2)已知a>b>c,求证:a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2.

学科素养创新练

12.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是(　　)

A.165 cm B.175 cm 

C.185 cm D.190 cm

13.设m>n>0,试比较的大小关系.

参考答案

2.2　不等式

2.2.1　不等式及其性质

1.CD　若a=1,b=-1时,a>b成立,>1显然不成立,故A错误;若c=0,a=1,b=2满足ac2≥bc2,但a<b,故B错误;若c>a>b>0,则c-a>0,c-b>0,a-b>0,可得>0,所以,故C正确;若a>b,则,故D正确.故选CD.

2.B　对于A中,令a=1,b=-1,d=1,c=-1,满足a>b,c<d,但a+c=b+d,故A错误;

对于B中,因为a>b,c<d,所以由不等式的性质,可得a+d>b+c,

所以a-c>b-d,故B正确;

对于C中,令a=1,b=-1,d=1,c=-1,满足a>b,c<d,但ac=bd,故C错误;

对于D中,令a=2,b=-1,d=-1,c=-2,满足a>b,c<d,但,故D错误.

3.C　∵-4<b<2,∴0≤|b|<4,∴-4<-|b|≤0.

又1<a<3,∴-3<a-|b|<3.

4.①②④　因为<0⇔b-a与ab异号,然后再逐个进行验证,可知①②④都满足条件.

5.①②③　若ab>0,bc-ad>0,∴>0,故①为真命题;

若a<b<0,c<d<0,则-a>-b>0,-c>-d>0,

∴ac>bd,故②为真命题;

若bc-ad>0,bd>0,则>0,

即>0,

∴,则+1>+1,即,

∴,故③为真命题.

6.证明(1)∵a>b>0,-c>-d>0,

∴a-c>b-d>0,∴.

(2)∵m<0,∴.

7.解由题得,z=2x-3y=-(x+y)+(x-y),-2≤-(x+y)≤,5≤(x-y)≤,∴3≤-(x+y)+(x-y)≤8,∴z的取值范围是[3,8].

8.D　对于A选项,取a=-1,b=1,则a<b满足,但此时,所以A选项错误;对于B选项,由于且c2>0,所以a<b,所以B选项错误;对于C选项,取a=c=,b=d=,则a2<b2,c2<d2成立,但是a2-c2=b2-d2,所以C选项错误;对于D选项,当a,c中至少有一个为零时,则b2d2>0,此时a2c2=0<b2d2;当a≠0,且c≠0时,b2>a2>0,d2>c2>0,有b2d2>a2c2,所以D选项正确,为真命题.故选D.

9.ABD　a>b>1,则a2>b2,①正确;⇔a-b>a+b-2⇔b<⇔b<a,②正确;取a=2,b=,计算得到a3+b3=8+<2a2b=12,③错误;a+>b+⇔a-b+>0⇔(a-b)1+>0,④正确.

10.解∵b-c=a2-4a+4=(a-2)2≥0,∴b≥c.

由题意可得方程组

解得b=2a2-4a+5,c=a2+1.

∴c-a=a2+1-a=>0,

∴c>a,故b≥c>a.

11.证明(1)∵bc-ad≥0,bd>0,∴bc≥ad,>0,

∴,∴+1≥+1,即,即.

(2)a2b+b2c+c2a-(ab2+bc2+ca2)=(a2b-bc2)+(b2c-ab2)+(c2a-ca2)=b(a2-c2)+b2(c-a)+ca(c-a)=(c-a)(b2+ca-ba-bc)=(c-a)(c-b)(a-b).

∵a>b>c,∴c-a<0,c-b<0,a-b>0,

∴(c-a)(c-b)(a-b)>0,即a2b+b2c+c2a-(ab2+bc2+ca2)>0.

∴a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2.

12.B　用线段代替人身高,如图.

已知≈0.618,c<26,b>105,c+d=a,

设此人身高为hcm,则a+b=h,

由⇒a>64.89,由⇒d<42.07,

所以c+d<26+42.07=68.07,即a<68.07,

由⇒b<110.15,

整理可得64.89+105<a+b<68.07+110.15,

即169.89<h<178.22(单位:cm).

符合条件的为选项B.

13.解.

∵m>n>0,∴0<m2+n2<m2+2mn+n2且m2-n2>0,∴.

因此,,即.