高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性同步达标检测题

3.1.3　函数的奇偶性

必备知识基础练

1.下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　)

2.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x-1,则当x<0时,f(x)= (　　)

A.-x-1 B.x-1 

C.-x+1 D.x+1

3.(2021全国甲,文12)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f,则f=(　　)

A.- B.- C. D.

4.(2021安徽合肥高一期末)若奇函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,则函数f(x)在区间[1,2]上(　　)

A.单调递增,且有最小值f(1)

B.单调递增,且有最大值f(1)

C.单调递减,且有最小值f(2)

D.单调递减,且有最大值f(2)

5.(多选题)已知函数f(x-2)是定义在R上的偶函数,且对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),总有>0,则下列结论正确的是(　　)

A.f(-6)<f(0) 

B.f(0)<f(-3)

C.f(0)<f(-6) 

D.f(-3)<f(0)

6.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值是5,那么f(x)在区间[-7,-3]上的最　　　　　(填“大”或“小”)值为　　　　　. 

7.设函数y=f(x)是偶函数,它在[0,1]上的图象如图所示,则它在[-1,0]上的解析式为.

8.已知函数f(x)=是奇函数,则m=　　　　　. 

9.已知函数f(x)=(x+a)(x+b)(a,b∈R)为R上的偶函数.

(1)求a,b的关系式;

(2)求关于x的方程f(x)=0的解集.

10.已知函数f(x)是正比例函数,函数g(x)是反比例函数,且f(1)=1,g(1)=2.

(1)求函数f(x)和g(x);

(2)判断f(x)+g(x)的奇偶性;

(3)求函数f(x)+g(x)在(0,2)上的最小值.

关键能力提升练

11.设f(x)是(-∞,+∞)内的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于(　　)

A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5

12.(2021陕西西安长安一中高一月考)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(　　)

A.f(x)g(x)是偶函数 

B.|f(x)|g(x)是奇函数

C.f(x)|g(x)|是奇函数 

D.|f(x)g(x)|是奇函数

13.已知定义在R上的函数f(x)在(-∞,2)上单调递减,且f(x+2)为偶函数,则f(-1),f(4),f的大小关系为(　　)

A.f(4)<f(-1)<f

B.f(-1)<f(4)<f

C.f<f(4)<f(-1)

D.f(-1)<f<f(4)

14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,-1)∪(2,+∞)

B.(-1,2)

C.(-2,1)

D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

15.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x3+x+1,则f(x)的解析式为　　　　　　　　. 

16.判断下列函数的奇偶性.

(1)f(x)=

(2)f(x)=

17.设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)=x5+x3+b.

(1)求b的值;

(2)若f(x)在[0,2]上单调递增,且f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围.

学科素养创新练

18.(2021吉林高一月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x.

(1)求函数f(x)的单调递增区间;

(2)求函数f(x)在R上的解析式;

(3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2,x∈[1,2],求函数g(x)的最小值.

参考答案

3.1.3　函数的奇偶性

1.B

2.D　当x<0时,则-x>0,因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x+1.

3.C　∵f(1+x)=f(-x),

∴f=f1+=f-.

又f(x)为奇函数,∴f-=-f,

∴f=f1-=f=-f-=-.

∴f=.

4.C　由于奇函数的图象关于原点对称,所以函数f(x)在y轴两侧单调性相同.因为f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上有最大值f(1),最小值f(2),故选C.

5.CD　因为对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有>0,不妨设0≤x1<x2,因为>0,所以f(x1-2)-f(x2-2)<0,f(x1-2)<f(x2-2),所以f(x-2)在[0,+∞)上是增函数,所以f(x)在[-2,+∞)上是增函数.因为f(x-2)是偶函数,所以f(x-2)的图象关于y轴对称,故f(x)的图象关于直线x=-2对称,所以f(-6)=f(2),f(-3)=f(-1),则f(-3)<f(0)<f(-6).故选CD.

6.大　-5　由题意知f(3)=5,根据奇函数在对称区间上的单调性一致并结合图象可得f(x)在[-7,-3]上为增函数,且在x=-3处取得最大值,f(-3)=-f(3)=-5.

7.f(x)=x+2　由题意知f(x)在[-1,0]上为一线段,且过(-1,1),(0,2),设f(x)=kx+b(k≠0),将(-1,1),(0,2)代入得k=1,b=2.

8.2　当x<0时,-x>0,

f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.

∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-x2-2x.

∴f(x)=x2+2x=x2+mx,即m=2.

9.解(1)∵f(x)=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab是偶函数,∴f(-x)=f(x)对于x∈R恒成立,

∴(-x)2-(a+b)x+ab=x2+(a+b)x+ab,

即2(a+b)x=0对于x∈R恒成立,

∴a+b=0,即b=-a.

(2)由(1)可知,f(x)=x2-a2.

当a=0时,f(x)=x2=0,解得x=0;

当a≠0时,f(x)=x2-a2=0,解得x=±a.

综上所述,当a=0时,方程f(x)=0的解集为{0};

当a≠0时,方程f(x)=0的解集为{-a,a}.

10.解(1)设f(x)=k1x,g(x)=(k1,k2≠0),

则1=f(1)=k1,2=g(1)=k2,

∴f(x)=x,g(x)=.

(2)令h(x)=f(x)+g(x)=x+,

则其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),

又h(-x)=-x+=-x+=-h(x),

∴f(x)+g(x)为奇函数.

(3)∵当x∈(0,2)时,f(x)+g(x)=x+≥2=2,当且仅当x=>0,即x=∈(0,2)时等号成立,故f(x)+g(x)在(0,2)上的最小值为2.

11.B　由已知,可得f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(2+3.5)=-[-f(3.5)]=f(3.5)=f(2+1.5)=-f(1.5)=-f(2-0.5)=-[-f(-0.5)]=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.

12.C　∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于A,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),故f(x)g(x)是奇函数,故A错误;对于B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),故|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误;对于C,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,故f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;对于D,|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,故|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.故选C.

13.A　函数y=f(x+2)为偶函数,则函数y=f(x+2)的图象关于y轴对称,函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,则f=f-,f(4)=f(0),∴f(x)在(-∞,2)上单调递减,-<-1<0,

∴f->f(-1)>f(0),即f(4)<f(-1)<f.

14.C　因为f(x)是奇函数,所以当x<0时,f(x)=-x2+2x,作出f(x)的大致图象如图中实线所示,结合图象可知f(x)是R上的增函数,由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,即-2<a<1.

15.f(x)=　设x<0,则-x>0,

所以f(-x)=(-x)3+(-x)+1=-x3-x+1.

因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).

所以-x3-x+1=-f(x),

即f(x)=x3+x-1.

所以x<0时,f(x)=x3+x-1,

又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,

所以f(x)=

16.解(1)当x<0时,-x>0,则有

f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x);

当x>0时,-x<0,则有

f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x).

综上所述,因为对任意不为0的x,都有f(-x)=-f(x)成立,所以f(x)为奇函数.

(2)f(x)的定义域为(-6,-1]∪[1,6),关于原点对称.

当x∈(-6,-1]时,-x∈[1,6),

f(-x)=(-x-5)2-4=(x+5)2-4=f(x);

当x∈[1,6)时,-x∈(-6,-1],

f(-x)=(-x+5)2-4=(x-5)2-4=f(x).

综上可知,对于任意x∈(-6,-1]∪[1,6),都有f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.

17.解(1)因为函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,所以f(0)=0,解得b=0(经检验符合题意).

(2)因为函数f(x)在[0,2]上是增函数,又f(x)是奇函数,所以f(x)在[-2,2]上是增函数.

因为f(m)+f(m-1)>0,

所以f(m-1)>-f(m)=f(-m),

所以m-1>-m, ①

又需要不等式f(m)+f(m-1)>0在函数f(x)定义域内有意义,所以 ②

联立①②,解得<m≤2,

所以实数m的取值范围为,2.

18.解(1)由题意知,当x≥0时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,此时函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).

又函数f(x)为偶函数,所以当x<0时,其单调递增区间为(-1,0),所以函数f(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).

(2)设x<0,则-x>0,

所以f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,

由已知f(x)=f(-x),

所以当x<0时,f(x)=x2+2x,

所以f(x)=

(3)由(2)可得g(x)=x2-(2a+2)x+2,x∈[1,2],

对称轴为直线x=a+1.

当a<0时,a+1<1,此时函数g(x)在区间[1,2]上单调递增,故函数g(x)的最小值为g(1)=1-2a;

当0≤a≤1时,1≤a+1≤2,此时函数g(x)在对称轴处取得最小值,故函数g(x)的最小值为g(1+a)=-a2-2a+1;

当a>1时,a+1>2,此时函数g(x)在区间[1,2]上单调递减,故函数g(x)的最小值为g(2)=2-4a.

综上,函数g(x)的最小值为g(x)min=