人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.2 函数与方程、不等式之间的关系测试题

3.2　函数与方程、不等式之间的关系

必备知识基础练

1.如图所示的四个函数图象,在区间(-∞,0)内,函数fi(x)(i=1,2,3,4)中有零点的是(　　)

A.f1(x) B.f2(x) 

C.f3(x) D.f4(x)

2.(多选题)函数f(x)=x3-2x2+3x-6的零点所在的区间可能是(　　)

A.0, B. 

C. D.

3.如果二次函数y=x2+mx+m+3有两个不同的零点,则m的取值范围是(　　)

A.(-2,6) 

B.[-2,6]

C.(-∞,-2)∪(6,+∞) 

D.{-2,6}

4.已知函数f(x)在区间[a,b]上单调,且图象是连续不断的,若f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]上(　　)

A.至少有一个实数根 B.至多有一个实数根

C.没有实数根 D.必有唯一的实数根

5.若函数f(x)在定义域{x|x≠0}内是偶函数,且在(0,+∞)内是减函数,f(2)=0,则函数f(x)的零点有(　　)

A.一个 B.两个

C.至少两个 D.无法判断

6.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点个数为　　　　. 

7.二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:

则不等式ax2+bx+c>0的解集是　　　　　. 

8.已知函数f(x)=2(m-1)x2-4mx+2m-1.

(1)求m为何值时,函数的图象与x轴有两个交点;

(2)如果函数的一个零点是0,求m的值.

9.在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障,这是一条10 km 长的线路,问如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多,每查一个点要爬一次电线杆,10 km 长,大约有200多根电线杆.想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?

关键能力提升练

10.若函数f(x)的图象是连续不断的,且f(0)>0,f(1)f(2)f(4)<0,则下列命题正确的是 (　　)

A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点

B.函数f(x)在区间(1,2)内有零点

C.函数f(x)在区间(0,2)内有零点

D.函数f(x)在区间(0,4)内有零点

11.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)上恰有一解,则a的取值范围是(　　)

A.(-∞,-1) B.(1,+∞)

C.(-1,1) D.[0,1)

12.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则(　　)

A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c<0

C.a<0,b<0,c>0 D.a<0,b<0,c<0

13.在R上定义运算☉:A☉B=A(1-B),若不等式(x-a)☉(x+a)<1对任意的实数x∈R恒成立,则实数a的取值范围为(　　)

A.(-1,1) B.(0,2)

C.- D.-

14.函数f(x)=x2-+1的零点个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

15.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)上,则下一步可判定该根所在区间为　　　　　. 

16.若函数f(x)=ax2-x-1的负零点有且仅有一个,求实数a的取值范围.

17.已知关于x的函数y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1恒有零点.

(1)求m的范围;

(2)若函数有两个不同零点,且其倒数之和为-4,求m的值.

学科素养创新练

18.已知函数f(x)=2x2-8x+m+3为R上的连续函数.

(1)若函数f(x)在区间[-1,1]上存在零点,求实数m的取值范围;

(2)若m=-4,判断f(x)在(-1,1)上是否存在零点?若存在,请在精确度为0.2的条件下,用二分法求出这个零点所在的区间;若不存在,请说明理由.

参考答案

3.2　函数与方程、不等式之间的关系

1.B　由函数图象可知,f2(x)在(-∞,0)内与x轴有交点,故f2(x)在(-∞,0)内有零点.

2.AD　由于f(0)<0,f(-2)<0,f(4)>0,

f(1)<0,f>0,f<0,

所以零点在区间,0,内.

3.C　由题意得方程x2+mx+m+3=0有两个不同实根,则Δ=m2-4(m+3)>0,即m2-4m-12>0,∴m>6或m<-2.

4.D　由题意知函数f(x)为连续函数,∵f(a)f(b)<0,

∴函数f(x)在区间[a,b]上至少有一个零点,

∵函数f(x)在区间[a,b]上是单调函数,∴函数f(x)在区间[a,b]上至多有一个零点,故函数f(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点,即方程f(x)=0在区间[a,b]内必有唯一的实数根.故选D.

5.B　∵函数f(x)在(0,+∞)内是减函数,f(2)=0,

∴f(x)在(0,+∞)内的图象与x轴只有一个交点,

又f(x)在定义域{x|x≠0}上是偶函数,

∴f(x)在(-∞,0)内的图象与x轴也只有一个交点,即f(-2)=0.故选B.

6.3　当x<0时,f(x)=x2+x,

令f(x)=0,得x=-1或x=0(舍掉);

当x≥0时,f(x)=x2-2x,

令f(x)=0,得x=2或x=0.

所以函数f(x)的零点个数为3.

7.(-∞,-2)∪(3,+∞)　由题表可知f(-2)=f(3)=0,且当x∈(-2,3)时,f(x)<0,所以当x∈(-∞,-2)∪(3,+∞)时,ax2+bx+c>0.

8.解(1)若函数图象与x轴有两个交点,则

解得m>且m≠1.

(2)∵0是函数的一个零点,∴f(0)=0,

∴2m-1=0,∴m=.

9.解可以利用二分法的原理进行查找.

如图所示,他首先从中点C查,用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定故障在BC段,再到BC段中点D查,这次发现BD段正常,可见故障在CD段,再到CD中点E来查.

这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半,故经过7次查找,即可将故障发生的范围缩小到50m~100m之间.

10.D　由f(1)f(2)f(4)<0知,f(1),f(2),f(4)中有一个或三个小于0,∴函数f(x)在区间(0,4)内有零点.故选D.

11.B　令f(x)=2ax2-x-1.当a=0时,不符合题意;当a≠0时,若Δ=0,即a=-,此时解得x=-2,不符合题意;若Δ>0,即a>-,则有f(0)f(1)=-1×(2a-2)<0,所以a>1.

12.B　图象经过(0,0),(-2,0),(1,0)三个点.由图象过原点(0,0),知d=0.由图象过另外两点,可知f(x)=ax(x+2)(x-1),即f(x)=ax3+ax2-2ax.又由图象,得f(2)=2a(2+2)×(2-1)>0,可得a>0.又f(x)=ax3+bx2+cx+d,所以b=a>0,c=-2a<0.综上可知a>0,b>0,c<0.

13.C　∵(x-a)☉(x+a)=(x-a)(1-x-a),∴不等式(x-a)☉(x+a)<1,即(x-a)(1-x-a)<1对任意实数x恒成立,即x2-x-a2+a+1>0对任意实数x恒成立,所以Δ=1-4(-a2+a+1)<0,解得-<a<,故选C.

14.B　令f(x)=0得x2-+1=0,∴x2+1=,作出函数y=x2+1与y=的图象(图略),由于两个函数的图象只有一个交点,所以零点个数为1.

15.　令函数f(x)=x3-2x-1,则可得f(1)=13-2×1-1=-2<0,f(2)=23-2×2-1=3>0,又f-2×-1=-<0,则下一步可判定该根所在区间为.

16.解当a=0时,f(x)=-x-1,

令f(x)=0,得x=-1,符合题意;

当a>0时,此函数图象开口向上.

又f(0)=-1<0,结合二次函数图象(略)知符合题意;

当a<0时,此函数图象开口向下.

又f(0)=-1<0,从而有

即a=-.

综上可知,实数a的取值范围为-∪[0,+∞).

17.解(1)当m+6=0,即m=-6时,

函数为y=-14x-5显然有零点,

当m+6≠0,即m≠-6时,

∵由Δ=4(m-1)2-4(m+6)(m+1)=-36m-20≥0,得m≤-.

∴当m≤-,且m≠-6时,二次函数有零点.

综上,m的取值范围为-∞,-.

(2)设x1,x2是函数的两个零点,则根据题意有

x1+x2=-,x1x2=.

∵=-4,即=-4,

∴-=-4,解得m=-3.

当m=-3时,m+6≠0,Δ>0符合题意,∴m的值为-3.

18.解(1)易知函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,

∵f(x)在区间[-1,1]上存在零点,

∴

∴-13≤m≤3,∴实数m的取值范围是[-13,3].

(2)存在.当m=-4时,f(x)=2x2-8x-1,易求出f(-1)=9,f(1)=-7.

∵f(-1)f(1)<0,且f(x)在区间(-1,1)上单调递减,

∴函数f(x)在(-1,1)上存在唯一零点x0.

∵f(0)=-1<0,∴f(-1)f(0)<0,∴x0∈(-1,0).

此时0-(-1)=1>0.2,

∵f-=>0,∴f-f(0)<0,

∴x0∈-,0.

此时0--=>0.2,

∵f-=>0,∴f-f(0)<0,

∴x0∈-,0.

此时0--=>0.2,

∵f-=>0,∴f-f(0)<0,

∴x0∈-,0.

此时=0.2,满足精确度,停止二分,

∴所求区间为-,0.