高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系习题

【优编】2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系优质练习

一、单选题

1．给出一种运算：对于函数，规定.例如：若函数，则有.已知函数，则方程的解集是（    ）

A． B． C． D．

2．关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（    ）

A． B． C．且 D．且

3．一元二次方程的两个实数根的和与积分别是（    ）

A．， B．，

C．，2 D．，2

4．若是方程的一个根，则的值是（    ）

A．1 B．

C． D．

5．多项式可分解为,则的值分别为（    ）

A．10和-2 B．-10和2 C．10和2 D．-10和-2

6．若一元二次方程有解，则的取值为（    ）

A．正数 B．非负数

C．一切实数 D．零

7．根据等式的性质判断下列变形正确的是（    ）

A．如果，那么 B．如果，那么

C．如果，那么 D．如果，那么

8．已知是正整数，则下列数中一定能整除的是（    ）

A．6 B．3 C．4 D．5

9．已知函数，若存在两相异实数使，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

10．已知三个关于的一元二次方程，，恰有一个公共实数根，则的值为（    ）.

A．0 B．1 C．2 D．3

11．一元二次方程根的情况是（    ）

A．无实数根

B．有一个正根，一个负根

C．有两个正根，且都小于3

D．有两个正根，且有一根大于3

12．关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为4，则实数 的值为（ ）

A．4 B．-10 C．2 D．-10或2

13．若、是一元二次方程的两个不相等的根，则的值是（       ）

A．3 B．15 C．-3 D．-15

14．二元二次方程组 的解是(　　　　)

A． B．

C． D．

15．关于的方程有两个不等的实根，则的取值范围是（    ）

A．  B． C． D．

参考答案与试题解析

1．B

【分析】根据新定义的运算，求得的表达式，根据求出方程的解集.

【详解】由题意可得，即，解得，.

故选:B.

【点睛】本小题主要考查新定义运算的理解，考查一元二次方程的解法，属于基础题.

2．A

【解析】对参数进行分类讨论，当为二次方程时，只需满足即可.

【详解】①，即时，

方程化为，

只有一个实根，符合题意；

②当，即时，

方程有实根的充要条件是，

解得，即且．

综合①②得．

故选：A．

【点睛】本题考查由的根的情况，求解参数的范围，属基础题.

3．B

【分析】先将方程化成一般式，再根据一元二次方程根与系数的关系即可求出．

【详解】设这个一元二次方程的两个实数根分别为，，方程化为一元二次方程的一般形式为.，，，，.故选B.

【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系应用．

4．A

【分析】根据方程的解的概念即可求出．

【详解】把代入方程，得，解得.故选A.

【点睛】本题主要考查方程的解的概念的理解．

5．D

【分析】将展开,利用待定系数法可求出的值.

【详解】由题意,,

则,解得.

故选:D.

【点睛】使用待定系数法解题的一般步骤是:

（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；

（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；

（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.

6．B

【分析】根据一元二次方程有解的条件，即可求出．

【详解】，因为方程有解，所以，

即时，一元二次方程有解. 故选B.

【点睛】本题主要考查一元二次方程有解的条件应用．

7．D

【分析】根据等式的性质对选项逐一分析，由此判断出变形正确的选项.

【详解】对于A，没有的条件，等式的两边不能都除以，故选项A不正确；对于B，等式的左边减去5，等式的右边乘以后加上5，等式不成立，故选项B不正确；对于C，等式的左边乘以2，等式的右边除以2，等式不成立，故选项C不正确；对于D，等式的两边都乘以，等式成立，故选项D正确.

故选:D.

【点睛】本小题主要考查等式的性质，考查等式变形，属于基础题.

8．C

【分析】首先根据平方差公式对分解因式，由此判断出正确选项.

【详解】,

一定能被4整除，

故选:C.

【点睛】本小题主要考查平方差公式，考查整除性问题，属于基础题.

9．B

【分析】由题设可得，又即为方程两个不等的实根，即有，结合、得，即可求其最小值.

【详解】由题意知：当有，

∵知：是两个不等的实根.

∴，而，

∵，即，

∴，令，

则，

∴当时，的最小值为.

故选：B

【点睛】关键点点睛：由已知条件将函数转化为一元二次方程的两个不同实根为，结合韦达定理以及，应用二次函数的性质求最值即可.

10．D

【解析】设三个关于x的一元二次方程的公共实数根为t，代入三个方程得到a，b，c的关系，然后代入代数式求出代数式的值．

【详解】解：设三个关于x的一元二次方程的公共实数根为t，

则①，②，③

∴①+②+③得：

而

原式

故选：D

【点睛】本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元二次的解．也考查了分式的化简求值．

11．D

【分析】先将方程化成一般式，利用求根公式求出两根，即可判断各选项真假．

【详解】一元二次方程化简为，

，所以方程的两根为，即，.又因为，，所以该方程有两个正根，且有一根大于3. 故选D.

【点睛】本题主要考查一元二次方程求根公式的应用．

12．C

【解析】用韦达定理得出根与系数的关系，然后计算可得．

【详解】方程有实根，则，解得 或，

设方程的两根为，则， ，

∴，解得 （舍去）．

故选：C．

【点睛】易错点睛：本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题中利用韦达定理得，然后利用 去化简求值，这里有一个前提条件：方程有实解，因此有个隐含条件：由此求出参数的范围，只有在这个范围内的参数值才是所求解．

13．B

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.

【详解】∵、是一元二次方程的两个不相等的根，

∴，即，

由根与系数的关系可知：，

∴.

故选：B

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了运算能力，属于中档题.

14．C

【分析】将x、y看作是一元二次方程a2﹣3a﹣10＝0的两个根，故只需求出该方程的解即可．

【详解】由题意可知：x、y是一元一次方程a2﹣3a﹣10＝0的两个根，

∵a2﹣3a﹣10＝（a﹣5）（a+2）＝0

∴a1＝5，a2＝﹣2，则不等式组的解为

故选：C．

【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系的变相应用问题，解题的关键是将方程组的解x、y看作是一元二次方程a2﹣3a﹣10＝0的两个根从而更简便地解决问题．

15．D

【解析】根据题意得且，解不等式即可得答案.

【详解】解：因为关于的方程有两个不等的实根

且，即：且，

解得且.

故选：D.

【点睛】本题考查一元二次方程的实数根问题，是基础题.