高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系同步练习题

【精选】2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系练习

一、单选题

1．已知函数，其中的图像关于直线对称，据此可推测，对任意的非零实数关于的方程的解集都不可能是（    ）

A． B． C． D．

2．已知a，b，c为常数，且，则关于x的方程的解集的情况是（    ）

A．解集非空 B．解集中含有一个元素

C． D．解集中含有两个元素

3．已知，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

4．已知，是关于的一元二次方程的两个根，且，，则该一元二次方程是（    ）

A． B．

C． D．

5．已知函数，若存在两相异实数，使，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

6．若，是方程的两个不相等的实数根，则代数式的值是

A．19 B．15 C．11 D．3

7．已知关于x的方程的解集为非空集合，则k的取值范围是（    ）

A．且 B．且 C． D．

8．已知是方程的两根，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

9．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10．在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，则方程的所有解的和为（    ）

A． B．0 C．1 D．2

11．已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围为（    ）

A． B．或

C．或 D．

12．若关于x的方程的两根分别是，则（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

13．若，是方程的两实数根，则代数式的值是（    ）

A．1 B． C．3 D．

14．设，表示不超过的最大整数，且，则方程（    ）

A．方程无实根 B．方程存在整数解

C．方程存在无理数根 D．方程有两个以上有理数根

15．若是方程的两个实数根，则

A．2018 B．2017 C．2016 D．2015

参考答案与试题解析

1．D

【分析】方程不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项.

【详解】设关于的方程有两根，即或.

而的图象关于对称，因而或的两根也关于对称．而选项D中.

故选：D.

【点睛】方法点睛：

对于形如的方程（常称为复合方程），通过的解法是令，从而得到方程组，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征.

2．D

【解析】由不等式求得的范围，据此求得的范围，即可知方程根的情况.

【详解】由，得，

所以方程的判别式，

所以方程有两个不相等的实根，

即解集中含有两个元素．

故选：D．

【点睛】本题考查方程根的个数与之间的关系，属基础题.

3．B

【分析】根据题意知，方程有实数根，解出即可．

【详解】，方程有实数根，，解得.故选B.

【点睛】本题主要考查一元二次方程有解的条件应用．

4．B

【分析】由韦达定理即可求解的值，进而可得方程.

【详解】∵，，

∴，，

时，，，即，

故选：B．

5．B

【分析】由可得，题设转化为，是的两个不等实数根，应用根与系数关系及已知条件，将目标式转化为关于a、b的函数式，由二次函数的性质求最值.

【详解】由题意，当，有，

，

，是方程的两个不等实数根，

，，而，

，即，

，

令，则，故当时的最小值为.

故选：B.

6．A

【分析】利用韦达定理表示代数式，即可得到结果．

【详解】，是方程的两个不相等的实数根，

，，

.

故选A.

【点睛】本题考查了根与系数的关系，利用韦达定理表示目标式是解题的关键，考查了运算能力．

7．D

【解析】根据题意，方程有根，结合对参数的分类讨论，即可求得参数的取值范围.

【详解】当，即时，原方程为，

解得，故符合题意．

当，即时，，

解得且．

综上所述，．

故选：D．

【点睛】本题考查由的解集情况，求解参数的取值范围，属中档题.

8．D

【解析】由韦达定理的，，再根据即可求出.

【详解】是方程的两根，

，，

故选：D.

9．B

【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实根可判断，解不等式可得答案.

【详解】解：有两个不相等的实数根

故答案选：B

10．C

【分析】根据新定义运算列方程，因式分解后求得方程的解，进而求得所有解的和.

【详解】根据题意得，整理得，

即，即，解得或，，

方程的所有解的和为1

故选C

【点睛】本小题主要考查新定义运算的理解和运用，考查一元二次方程的解法，属于基础题.

11．C

【解析】由一元二次方程存在两个实根，有判别式即可求的取值范围.

【详解】由题意知：，解之得或，

故选：C

12．C

【分析】由韦达定理可得，然后，即可算出答案.

【详解】因为是方程的两根，所以

所以

故选：C

13．A

【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，求出，，即可求出的值．

【详解】由一元二次方程的根与系数的关系，得，，则.故选A.

【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系应用．

14．C

【分析】根据定义，方程可转化为，分析方程左边，可知为整数，原方程有根转化为，讨论此方程根的情况，注意检验原方程即可得出结论.

【详解】

方程可化为，

即，      （1）

由此可知是整数，令，

则.                 （2）

方程（2）当且仅当时，为有理数时，方程才有有理根，此时，

而显然不是（1）的根，由此可知，方程（1）若有实根必为无理根，

取代入（2）得：，

，取，则，

经检验，知是方程（1）的根，

所以有根，且为无理根，

故选：C

【点睛】本题主要考查了取整函数的理解，方程的转化，判别式确定二次方程根的解，属于难题.

15．B

【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论．

【详解】∵是方程的根，

∴，

∴，

∴.

∵是方程的两个实数根，

∴，

∴

故选B.

【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出、是解题的关键．