高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用习题

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【优质】2.2.4均值不等式及其应用同步练习一、单选题1．若，则的最小值为（    ）A．4 B．3 C．2 D．12．已知，且，则的最小值是（    ）A．2 B．4 C． D．93．已知，若恒成立，则实数m的取值范围是（    ）A． B．C．或 D．或4．已知为正实数，且，则的最小值是（    ）A． B． C． D．5．若a，b均为正实数，则的最大值为　　A． B． C． D．26．若，则下列不等式正确的是（    ）A． B． C． D．7．若a，b都为正实数且，则的最大值是（    ）A． B． C． D．8．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．9．已知，，，则的最大值为（    ）A． B．4 C．6 D．810．不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（    ）A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y11．若正实数、满足，则的最大值为（    ）A．1 B． C．2 D．412．已知，且，则的最小值为（    ）A． B． C． D．13．已知，，命题，命题，则p是q的（    ）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．下列函数的最小值为2的是（    ）A． B．C． D．15．若正数满足，当取得最小值时，的值为A． B．2 C． D．5
参考答案与试题解析1．D【分析】利用“乘1法”即得.【详解】因为，所以，∴，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为1.故选：D.2．C【分析】利用基本不等式“1”的代换求的最小值即可.【详解】由题意，，当且仅当时等号成立.故选：C3．B【分析】利用基本不等式可得，由条件可知即求.【详解】∵，∴，当且仅当即取等号，由恒成立，∴，∴.故选：B.4．C【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.【详解】因为，所以，而为正实数，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为8.故选：C5．B【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.【详解】因为a，b均为正实数，则，当且仅当，且a=1取等，即a=1,b= 取等即则的最大值为，故选B．【点睛】本题考查基本不等式求最值，熟练变形是关键，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致，是难题.6．D【分析】利用不等式的基本性质可判断ABC选项的正误，利用基本不等式可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，由已知条件可得，故，即，A错；对于B选项，因为，由不等式的基本性质可得，B错；对于C选项，由题意可得，即，C错；对于D选项，因为，则，可得，故，由基本不等式可得，D选项正确.故选：D.7．D【分析】由基本不等式，结合题中条件，直接求解，即可得出结果.【详解】因为，都为正实数，，所以，当且仅当，即时，取最大值.故选：D8．A【分析】分离参数，将问题转换为在上有解，设函数，，求出函数的最大值，即可求得答案.【详解】由题意得，，，即 ，故问题转化为在上有解，设，则，，对于 ，当且仅当时取等号，则，故 ，故选：A9．B【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此求得的最大值【详解】因为所以，从而．当且仅当时等号成立.故选：B10．B【分析】由均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，结合此条件即可得解.【详解】解：由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式成立的前提条件为，即.故选：B.11．A【解析】利用基本不等式化为即可．【详解】当，为正实数时，由，，当且仅当等号成立，的最大值为1．故选: A．【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，注意“一正、二定、三相等”缺一不可，属于基础题．12．B【解析】利用“的代换”的方法，结合基本不等式，求得的最小值.【详解】∵，∴（当且仅当，即时，等号成立）．∴．故当时，有最小值，为．故选：B【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.13．A【分析】利用“1”的妙用探讨命题“若p则q”的真假，取特殊值计算说明“若q则p”的真假即可判断作答.【详解】解：因为，，由，得，则，当且仅当，即，时取等号，因此；因为，，由，可取，，则，，此时，因此，所以p是q的充分不必要条件．故选：A．14．D【分析】对各选项一一分析是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正，二定，三相等”.【详解】对于A. ,当时，，所以最小值为不是2，A错误；对于B. ，所以时，即，此时无解，所以原式取不到最小值2 ，B错误.对于C. ，当且仅当，此方程无解，则的最小值取不到2，C错误；对于D,，因为，所以，当且仅当，即时，有最小值2，满足，D正确；故选：D.【点睛】本题考查了使用基本不等式的应用条件，属于基础题.15．B【分析】将方程变形 代入可得3x+4y=（3x+4y）（）=×3，然后利用基本不等式即可求解．【详解】∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0∴∴3x+4y=（3x+4y）（）=×3 当且仅当即x=2y=1时取等号,的值为2.故答案为B.【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.