数学必修 第一册3.2 函数与方程、不等式之间的关系精练

【特供】3.2函数与方程、不等式之间的关系作业练习

一、单选题

1．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

2．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则

A． B． C． D．

3．已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是

A．  B．

C．  D．

4．已知函数．若，则（    ）

A． B．

C． D．

5．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是(　　)

A．[1,4] B．[－2,1]

C． D．

6．函数的零点有（    ）

A．0个 B．1个

C．2个 D．无数个

7．若函数f（x）的图象是连续的，且函数f（x）的唯一零点同时在（0，4），（0，2），（1，2），（1，）内，则与f（0）符号相同的是

A．f（4） B．f（2）

C．f（1） D．f（）

8．下列函数中，是偶函数且不存在零点的是（　　）

A． B．

C． D．

9．关于x的方程恰有一根属于，则实数m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

10．已知的值域为，则实数（    ）

A．4或0 B．4或 C．0或 D．2或

11．已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ）

A．(－∞，0] B．[0，1)

C．(－∞，1) D．[0，+∞)

12．已知，则方程的解的个数是(    )

A．1 B．2 C．3 D．4

13．方程的实根个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．前三个答案都不对

14．函数的零点所在的一个区间是（    ）

A． B． C． D．

15．函数所有零点的集合为（    ）

A． B． C． D．

参考答案与试题解析

1．A

【解析】由的解集，可知及，进而可求出方程的解，从而可求出的解集.

【详解】由的解集为，可知且，

令，解得，，

因为，所以的解集为，

故选：A.

【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.

2．C

【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.

详解：因为是定义域为的奇函数，且，

所以,

因此，

因为，所以，

，从而，选C.

点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

3．B

【详解】当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B.

【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

4．D

【分析】令函数，得，在同一坐标系中，作出的图象，分， ，讨论求解.

【详解】令函数，得，

令，

在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示：

由图象知：当时，，

当，，

当时，，

因为，

所以，

故选：D

5．D

【详解】∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为.

6．C

【分析】由根的判别式可得方程有两个不相等的实根，即可得到函数的零点个数；

【详解】解：，

所以方程有两个不相等的实根，故函数有2个零点.

故选：C

【点睛】本题考查函数的零点，属于基础题.

7．C

【分析】根据二分法及函数零点的存在性定理，得到函数的零点所在的区间，从而得到答案．

【详解】解：由二分法的过程可知，

（1）零点在（0，4）内，则有f（0）•f（4）＜0，不妨设f（0）＞0，f（4）＜0，取中点2；

（2）零点在（0，2）内，则有f（0）•f（2）＜0，则f（0）＞0，f（2）＜0，取中点1；

（3）零点在（1，2）内，则有f（1）•f（2）＜0，则f（1）＞0，f（2）＜0，取中点；

（4）零点在（1，）内，则有f（1）•f（）＜0，则f（1）＞0，f（）＜0．

所以与f（0）符号相同的是f（1）.

故选:C．

【点睛】本题考查了二分法及函数零点的存在性定理，是一道基础题．

8．D

【分析】结合基本函数的函数的性质和零点的概念，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，函数的对称轴为轴，故是偶函数，

令得，所以的零点为．不符合题意；

对于B中，函数的定义域为，不关于原点对称，

故不是偶函数，不符合题意；

对于C中，函数的定义域为，不关于原点对称，

故不是偶函数，不符合题意．

对于D中，函数，可得，所以函数为偶函数，

令，此时方程无解，所以函数无零点，不符合题意.

故选：D.

9．B

【分析】把方程的根转化为二次函数的零点问题，从恰有一个零点属于，分为三种情况，即可得解.

【详解】方程对应的二次函数设为：

因为方程恰有一根属于，则需要满足：

①，，解得：；

②函数刚好经过点或者，另一个零点属于，

把点代入，解得：，

此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去

把点代入，解得：，

此时方程为，两根为，，而，故符合题意；

③函数与x轴只有一个交点，横坐标属于，

，解得，

当时，方程的根为，不合题意；

若，方程的根为，符合题意

综上：实数m的取值范围为

故选：B

10．B

【分析】由题意可得，分的符号进行分类讨论函数的零点，结合值域得出的值，

【详解】解：由，

由，可得，或，或，

它的定义域为，值域为，

若，则，则函数的值域为，不满足条件.

若，则根据函数的定义域为，

此时，函数的零点为，，

若，当时，不满足题意.

若，当时，不满足题意.

所以，求得；

若，则函数的定义域为，

此时函数的零点为，，

同理可得，所以.

综上，或，

故选：B.

【点睛】关键点睛：本题考查函数零点、定义域和值域问题，解答本题的关键是当时，函数的零点为，，若，当时，若，当时，，所以，求得，属于中档题.

11．C

【分析】根据分段函数的表达式，得知当时，，结合题意，可知函数和的图象有且只有两个交点，画出函数的图象，从而可求得实数的取值范围.

【详解】解：当时，，故，

当时，，故，

以此类推，当时，，

由题可知，方程有且只有两个不相等的实数根，

则和的图象有且仅有两个交点，

由此画出函数和的图象如下图所示，

由图可知的取值范围是时，即方程有且只有两个不相等的实数根.

故选：C.

12．B

【分析】首先判断的符号，再代入函数表达式解方程即可.

【详解】因为，所以，所以，解得或.

故选：B.

13．D

【分析】令，方程转化为，分类讨论去绝对值即可得到方程根的情况.

【详解】令，，

则，

所以方程转化为

，即

，

即，

明显当，方程恒成立，即区间内的所有实数都是方程的根，即方程有无数个实数根.

故选：D.

14．B

【解析】利用零点存在性定理即可求解.

【详解】∵，

∴，

∴．

又函数的图象是连续不断的，

∴函数的零点所在的一个区间为．

故选：B

【点睛】本题考查由零点存在性定理判断零点所在的区间，需掌握定理的内容，属于基础题.

15．C

【解析】令，当时，当时，分别解方程即可求解.

【详解】由

令，当时，则，解得，

当时，则，解得（舍去）或，

综上函数所有零点的集合为.

故选：C

【点睛】本题考查了求具体函数的零点，需理解零点的定义，属于基础题.