人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用课后复习题

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用课后复习题，共10页。试卷主要包含了单选题等内容，欢迎下载使用。
1．若正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
2．已知，且，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值
3．若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知,则取最大值时的值是
A．B．C．D．
6．已知a＞0，b＞0，a+b＝4，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知，，，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．用一架两臂不等长的天平称黄金，先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，则两次共称得的黄金（ ）
A．大于B．等于C．小于D．无法确定
12．已知，则的最小值为（ ）
A．13B．19C．21D．27
13．已知且，则的最小值为（ ）
A．9B．7C．4D．3
14．下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
15．若a，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．4
参考答案与试题解析
1．C
【分析】首先利用基本不等式得到，即，，再求的最小值即可.
【详解】因为，，所以，即，，
当且仅当时取等号.
所以，当且仅当时取等号.
故选：C
2．A
【分析】根据题意可得到，从而利用基本不等式即可求出的最大值.
【详解】因为，所以，
所以，
因为，所以，当且仅当，即时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立.
故选：A.
3．C
【分析】取即可判断A、B、D选项是错误的，由基本不等式即可判断C选项是正确的.
【详解】取满足，且，此时，A错误；
取满足，且，此时，B错误；
可得，C正确；
取满足，且，此时，D错误.
故选：C.
4．B
【分析】利用基本不等式，结合，分别求得，，时函数的最小值分别为， ，-1，得到m的最大值在区间上，然后令 ，由求解.
【详解】当时，，
当且仅当，即时取等号.
当时，，则
，
当且仅当，即时取等号，此时成立.
当时，，则
，
当且仅当，即时取等号.
令，则，在上单调递减，在上单调递增.
令，则，解得或，即或，即或.
所以当时，都有成立，故的取值范围是，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键是求得，，时函数的最小值，明确时，m的最大值所在区间为而得解.
5．C
【解析】利用基本不等式的变形即可求出其最大值，并得到其取最大值时的值.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当时，即，等号成立.
故答案选.
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题.利用基本不等式求最值，一定要注意是否符合适用条件，以及等号成立的条件.
6．B
【分析】利用基本不等式逐个分析判断即可
【详解】解：因为a＞0，b＞0，a+b＝4，
所以，
当且仅当a＝b＝2时取等号，B正确，A错误；
由基本不等式可知ab＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，
故C错误；，D错误．
故选：B．
7．A
【分析】应用参变分离可知在上恒成立，由基本不等式求右边代数式的最大值，即可确定的取值范围.
【详解】由题设，，又，则恒成立，
由，当且仅当时等号成立，
∴.
故选：A
8．C
【分析】讨论当时或时，分离参数，利用基本不等式即可求解.
【详解】当时，得任意实数均满足题意，
当时，，
又
当且仅当取得等号，
故.
所以实数的取值范围是.
故选：C
9．B
【分析】因，再结合均值不等式求出的最大值，即可求解.
【详解】由，，，得，即（当且仅当时，等号成立）.
又因，得.
故当，取最小值2.
故选：B.
10．D
【分析】利用可得，根据基本不等式最值成立的条件可得，代入可得关于的二次函数，利用单调性求最值即可.
【详解】由正实数，，满足，
．
，
当且仅当时取等号，此时．
，当且仅当时取等号，
即的最大值是1．
故选：D
【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.
11．A
【分析】由杠杆原理与基本不等式求解
【详解】设左右两臂的长度为，两次取的黄金重量为克，显然，
则，化简得，由基本不等式得
故选：A
12．D
【分析】由基本不等式“1”的妙用求解
【详解】由题意得，当且仅当即时等号成立．
故选：D
13．A
【分析】根据题意，结合“1”的妙用，即可求解.
【详解】根据题意，得，当且仅当，即时，等号成立.
故选：A.
14．B
【分析】由基本不等式，可判定A不正确；由，可判定B正确；根据特例，可判定C、D不正确；
【详解】由基本不等式可知，故A不正确；
由，可得，即恒成立，故B正确；
当时，不等式不成立，故C不正确；
当时，不等式不成立，故D不正确.
故选：B.
15．A
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】，当且仅当时，等号成立；
又，当且仅当时，即，等号成立；
，解得，，
所以的最大值为
故选：A