数学必修 第一册第三章 函数3.2 函数与方程、不等式之间的关系课时训练

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【精挑】3.2函数与方程、不等式之间的关系课时练习一、单选题1．若方程存在两个不同的实根，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．2．下列函数中能用二分法求零点的是（    ）A． B． C． D．3．已知函数，有下列四个结论：①对任意，恒成立；②对任意，方程有两个不相等的实数根；③存在函数使得的图象与的图象关于直线对称；④对任意，函数在上有三个零点.则上述结论中正确的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．44．设函数是定义在上的函数，满足，且在上单调递增，则，的大小关系是（    ）A． B．C． D．无法比较5．已知函数的零点为，函数的最小值为，且，则函数的零点个数是（    ）A．2或3 B．3或4 C．3 D．46．已知，不等式恒成立，实数取值范围是（    ）A． B．C． D．7．已知函数是奇函数，且，则（    ）A． B． C． D．8．已知函数是定义在上的奇函数，若，则（    ）A． B． C． D．9．已知是奇函数并且是上的单调函数，若方程只有一个解，则实数的值是A． B． C． D．10．已知函数有两个不同零点，则实数a的取值范围为（    ）A． B．C． D．11．已知函数，则方程在内方程的根的个数是A．0 B．1 C．2 D．312．已知函数，若不等式有且仅有2个整数解，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．13．在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动（无滑动滚动），点D恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是（    ）A．方程在上有两个根B．函数是偶函数C．在上单调递增D．对任意的，都有14．函数在区间上的零点必定在区间（    ）A．内 B．内 C．内 D．内15．已知函数若关于x的方程有6个解，则实数m的取值范围为（    ）A． B． C． D．
参考答案与试题解析1．C【分析】运用数形结合思想，将方程根的问题转化为两函数图像的交点问题，再根据临界位置确定参数的取值范围.【详解】方程可看成函数 与的交点.即椭圆的上半部分与过定点（0，2）的直线的交点，如下图，当直线过点和时斜率最大，此时当直线与椭圆的上半部分相切时，得 ，且 ，解得所有当原方程有两个不同的实根时，a的取值范围为,选项C正确.故选：C.2．C【分析】根据用二分法求函数零点的条件逐个分析判断可得.【详解】在A和D中，函数虽有零点，但在零点左右两侧函数值同号，因此它们都不能用二分法求零点；在B中，函数无零点；在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点并且其零点左右两侧函数值异号，所以C中的函数能用二分法求零点.故选C【点睛】本题考查了用二分法求函数零点的条件,属于基础题.3．C【分析】①根据解析式计算；②画出函数的图象，由图象的交点个数判断实数根的个数；③假设存在函数满足条件，再根据函数的定义，判断选项；④根据，求方程的实数根的个数，再判断定义域上的零点个数.【详解】①函数的定义域是，，故①正确；②，函数的图象如图所示：与函数图象有2个交点，故②正确；③设函数上的任一点为关于的对称点为在函数上，则，当时，，当时，，当时，或，存在一个对着两个的值，所以不存在函数使得的图象与的图象关于直线对称，故③不正确；④，当时，满足方程，所以方程的一个实数根是，当时， ，，当时，， ，所以满足方程的有三个实数根据0，，所以函数有3个零点，故④正确.故正确的个数有3个.故选：C【点睛】本题考查函数的图象和性质，零点，重点考查数形结合分析问题的能力，推理能力，属于中档题型.4．B【解析】由题意，得出函数是定义在上偶函数，得到，再结合函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数是定义在上的函数，满足，即函数是定义在上偶函数，所以，又因为函数在上单调递增，可得，即.故选：B.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性的转化作用，结合函数的单调性求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.5．A【解析】由题意可知，函数的零点个数，等价于方程或的根的个数，等价于函数的图象与直线，的交点个数，画图求解，即可.【详解】如图所示，因为函数的零点为所以．因为，所以或．因为函数的最小值为，且，画出直线，．则直线与必有两个交点，此时有2个实数根.即函数由两个零点．直线与可能有一个交点或无交点，此时有一个实数根或无实数根．综上可知：函数的零点有2个或3个．故选：A【点睛】本题考查函数零点的个数问题，属于较难题.6．A【分析】将不等式恒成立转化为，令，若，等价于；若，等价于，运用一元二次不等式对应的一元二次方程根的分布分类讨论，求出的取值范围即可.【详解】，，，即，令， 若，，等价于，令，，，若，，即，①当，即时，不等式在上恒成立；②当，即或时，要使不等式在上恒成立，则有，解得，，综上所述，实数取值范围是.故选：A.7．A【分析】计算出的值，利用奇函数的性质可求得的值，由此可求得的值.【详解】由于函数是奇函数，则，所以，，因此，.故选：A.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，考查计算能力，属于基础题.8．A【解析】先设，根据其奇偶性，以及题中条件，得到，从而可求出结果.【详解】设，因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，则，所以，则.故选：A.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，属于基础题型.9．C【分析】由是奇函数，将，转化为，由是上的单调函数，得到，有唯一解，则，求得的值.【详解】∵，且为奇函数得，又是上的单调函数，得∴由题可知方程有唯一解，即有唯一解，所以=0，解得.【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质，单调性的性质，以及由函数的零点个数求参数的值，属于中档题.10．C【分析】将已知转化为方程有两个不同的根，令，转化为有两个不同的根，等价于函数与有两个不同的交点，数形结合可得解.【详解】函数有两个不同零点，等价于方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，令，则转化为有两个不同的根，等价于函数与有两个不同的交点，作出两个函数的图像，如下图数形结合可知，实数a的取值范围为故选：C11．D【详解】分析：令，则，由图象可得，利用数形结合可得结果.详解：画出函数图象，如图，令，则，由图象可得，由时，与有两个交点，有两个根.由时，由图象可得与有一个交点，有一个根.综上，方程在内方程的根的个数是，故选D.点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．12．A【分析】转化有且仅有2个整数解为有两个整数解，画出两个函数的图像，数形结合列出不等关系控制即得解【详解】由题意，有且仅有2个整数解即有两个整数解，即有两个整数解令（1）当时，即，有无数个整数解，不成立；（2）当时，如图所示，有无数个整数解，不成立；（3）当时，要保证有两个整数解如图所示，即，解得故选：A13．B【分析】由点的运动轨迹可得函数图像，根据图像可判断函数的图像与直线在上有三个交点，函数是偶函数，在上单调递减，且有.【详解】分析正方形顶点的运动状态可知，当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆；当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆；当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆；当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆，作出函数的图像如下图所示：由图可知：函数的图像与直线在上有三个交点，即方程在上有三个根，A错误；函数的图像关于轴对称，所以函数是偶函数，B正确；函数在上单调递减，C错误；由图像可知：取，可得，，，D错误.故选：B14．D【解析】利用零点存在性定理即可得出选项.【详解】∵，且，∴零点在内．又，∴零点在区间内．又，∴零点在区间内．故选：D【点睛】本题考查了零点存在性定理的应用，需理解零点存在性定理，属于基础题.15．D【分析】作出函数的图象，令，则，然后结合函数图象判断关于x的方程有6个解时，二次方程的根的分布情况，再运用二次方程根的分布求解参数的取值范围.【详解】令，则原方程可化为，作出函数的图像如图，由图像可知，关于x的方程有6个解，关于的方程在上有两个不等实根，由二次方程根的分布得：，解之得：.故选：D．【点睛】本题考查根据函数零点的个数求参数的取值范围问题，解答本题的关键在于画出函数的图象，然后换元，根据函数的图象分析出方程的根的个数及根的分布情况，列出关于的不等式组解得答案.