第1节 集合(好题帮）-备战2023年高考数学一轮复习考点帮（全国通用）（解析版）

这是一份第1节 集合(好题帮）-备战2023年高考数学一轮复习考点帮（全国通用）（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第1节  集合（本卷满分150分，考试时间120分钟。）一、单选题1．已知集合，，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，∴集合.∵，则，解得或，∴集合，∴.故选：D.2．已知集合，，则（       ） A． B． C． D．【答案】D【解析】，，则，.故选：D.3．设集合，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，则，又，所以.故选：A.4．已知集合，，若，则实数的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】若，则故选：A．5．设全集，集合，，则下面Venn图中阴影部分表示的集合是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】集合，，所以.图中阴影部分表示的集合为.故选：C6．已知表示正整数集合，若集合，则中元素的个数为（       ）A．16 B．15 C．14 D．13【答案】D【解析】由题设，又，由，则，由，则，由，则，同理，均属于集合A，所以第一象限中有13个点属于集合A.故选：D7．设集合，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，解得，即集合 所以故选：A8．已知集合，则A中元素的个数为（       ）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】由椭圆的性质得，又, 所以集合共有11个元素.故选：C二、多选题9．集合在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为.若集合，，则下列说法中正确的有（       ）A．若，则实数的取值范围为B．存在，使C．无论取何值，都有D．的最大值为【答案】ACD【解析】对于A，因为，所以，解得，故A正确.对于B和C，直线过定点，因为，故C正确，B错误.对于D，设原点到直线的距离为，则，所以的最大值，即的最大值，于是的最大值为，故D正确.故选：ACD10．若非空集合G和G上的二元运算“”满足：①，；②，对，：③，使，，有；④，，则称构成一个群.下列选项对应的构成一个群的是（       ）A．集合G为自然数集，“”为整数的加法运算B．集合G为正有理数集，“”为有理数的乘法运算C．集合(i为虚数单位)，“”为复数的乘法运算D．集合，“”为求两整数之和被7除的余数【答案】BCD【解析】A．时，不满足③，若，则由得，若，则在中设，由得，所以不能构成群；B．G为正有理数集，①任意两个正有理数的积仍然为正有理数，②显然，对任意，，③对任意正有理数，也是正有理数，且，即，④有理数的乘数满足结合律，B中可构造群；C．(i为虚数单位)，①可验证中任意两数（可相等）的乘积仍然属于；②，满足任意，有；③，满足任意，存在，有，实质上有；④复数的乘法运算满足结合律，C中可构造群；D．，①任意两个整数的和不是整数，它除以7的余数一定属于，②，满足对任意，，③，，，除以7余数为0；④加法满足交换律，又除以7的余数等于除以7的余数加除以7的余数的和再除以7所得余数，因此，，D中可构造群；故选：BCD．11．已知集合，定义上两点，，且，则下列说法正确的是（       ）A．若，，则B．当时，设C为上一点，在△ABC中，若，则C．当时，设C为上一点，则D．若，，设为上一点，其中，则满足的点P有125个【答案】ACD【解析】对于A，若，，则，所以选项A正确；对于B，在△ABC中，若，则，设，，，则，而，，但不一定成立，故选项B错误；对于C，设，，，根据绝对值不等式的性质有，，，所以，故选项C正确；对于D，，①，②，③，所以，当且仅当①②③中的等号同时成立时，，又.所以，，，又，所以x，y，z均为集合中的元素，，故选项D正确.故答案为：ACD12．两个集合和之间若存在一一对应关系，则称和等势，记为．例如：若为正整数集，为正偶数集，则，因为可构造一一映射．下列说法中正确的是（       ）A．两个有限集合等势的充分必要条件是这两个集合的元素个数相同B．对三个无限集合、、，若，，则C．正整数集与正实数集等势D．在空间直角坐标系中，若表示球面：上所有点的集合，表示平面上所有点的集合，则【答案】ABD【解析】对于A选项，设有限集合，，充分性：若，则两个集合和之间若存在一一对应关系，则对任意的，存在，使得与对应，故，充分性成立.必要性：若，即集合、的元素个数相等，可构造映射，使得，故，必要性成立，A对；对于B选项，对三个无限集合、、，若，对任意的，存在唯一的，使得与对应，又因为，则存在唯一的，使得与对应，故对任意的，存在唯一的，使得与对应，故，B对；对于C选项，正整数集与正实数集不等势，理由如下：假设正整数集与正实数集等势，则存在与的一个一一对应，将与中对应的元素记为，则中的元素可以排成一列：、、、、，显然中至少有一个单位长度的区间不包含，不妨设此区间为，将三等分，则、中至少有一个区间不含，以表示此区间，将三等分，其左、右两个区间至少有一个不含，记为，依此类推，可得一列闭区间满足：（i），且的长度趋于；（ii），、、、.所以，，但对任意的，，换言之，不在中，这是不可能的，这一矛盾说明，与不等势，C错；对于D选项，如下图所示：球面方程为，球面与轴的正半轴交于点，对于球面上任意一点（不与点重合），设直线交平面于点，则球面上的点（不与点重合）与平面内的点能建立一一对应关系，假定在平面上有一理想的点称之为无穷远点，它与点对应，这样，D对.故选：ABD.三、填空题13．设集合，集合，则________．【答案】##【解析】因为集合，，所以，故答案为：.14．2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________.【答案】3【解析】把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图， 观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有(人)，因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有(人)，因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有(人)，因此，至少看了一支短视频的有(人)，所以没有观看任何一支短视频的人数为.故答案为：315．已知非空集合A，B满足：，，函数对于下列结论：①不存在非空集合对，使得为偶函数；②存在唯一非空集合对，使得为奇函数；③存在无穷多非空集合对，使得方程无解．其中正确结论的序号为_________．【答案】①③【解析】①若，，则，，若，，则，，若，，则，，若，，则，，综上不存在非空集合对，使得为偶函数②若，则或，当，时，满足当时，所以可统一为，此时为奇函数当，时，满足当时，所以可统一为，此时为奇函数所以存在非空集合对，使得为奇函数，且不唯一③解的，解的，当非空集合对满足且，则方程无解，又因为，，所以存在无穷多非空集合对，使得方程无解故答案为：①③16．已知集合M＝{x∈N|1≤x≤21}，集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有7个元素； ②A1∪A2∪A3＝M．集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为___．【答案】132【解析】集合M＝{x∈N|1≤x≤21}，由集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有7个元素； ②A1∪A2∪A3＝M可知最小的三个数为1，2，3；21必是一个集合的最大元素，含有21集合中的元素，有21，20，19，…，16和1，2，3中一个组成，这样特征数最小，不妨取1，这时X1最小值为22；15必是一个集合的最大元素，含有15集合中的元素，有15，14，13，…，10和2，3中一个组成，这样特征数最小，不妨取2，这时X2最小值为17；9必是一个集合的最大元素，含有9集合中的元素，有9，8，7，…，4和3组成，这样特征数最小，这时X3最小值为10；则X1+X2+X3的最小值为22+17+12＝51．同理可知最大的三个数为21，20，19；含有21集合中的元素，有21，18，17，16，16，15，13；这样特征数最大，为34；含有20的集合中元素为20，12，11，10，9，8，7，这样特征数最大，为27；含有19的集合中元素为19，6，5，4，3，2，1，特征数最大，且为20；则X1+X2+X3的最大值为34+27+20＝81；所以X1+X2+X3的最大值与最小值的和为51+81＝132．故答案为：132．四、解答题17．设全集，集合，.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.【解析】 (1)当时，，所以又全集所以(2)由（1）知，， 由可得：，则，解得：所以实数的取值范围为：18．已知集合，.(1)若，求；(2)是的___________条件，若实数的值存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.（请在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任选一个，补充到空白处）注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【解析】 (1)由不等式，解得，可得当时，不等式，解得，即，可得或，所以或.(2)由不等式，解得，所以.若选择条件①，则集合是的真子集，得，解得.当时，，，合乎题意；若选择条件②，则集合是的真子集，得，解得.当时，，则，合乎题意；若选择条件③，则集合，得无解，所以不存在满足条件③的实数.19．设，，…，，，是个互不相同的闭区间，若存在实数使得，则称这个闭区间为聚合区间，为该聚合区间的聚合点．(1)已知，为聚合区间，求t的值；(2)已知，，…，，为聚合区间．（ⅰ）设，是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k，，使得；（ⅱ）若对任意p，q（且p，），都有，互不包含．求证：存在不同的i，，使得．【解析】 (1)由可得，又，为聚合区间，由定义可得，故当且仅当时成立，故(2)（ⅰ）由，是该聚合区间的两个不同的聚合点，不妨设，因为，故，又，故，不妨设中的最大值为，中最小值为，则，即，故存在区间（ⅱ）若存在 则或，与已知条件矛盾不妨设 ，则否则，若，则，与已知条件矛盾取，设当时，，又，所以，所以，即，所以，此时取，则，当时，同理可取，使得，综上，存在不同的i，，使得20．已知集合．对集合A中的任意元素，定义，当正整数时，定义（约定）．(1)若，求和；(2)若满足且，求的所有可能结果；(3)是否存在正整数n使得对任意都有？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由．【解析】 (1)由题意，，，，，，，.(2)由且，①，当或1时，，同理，或1时，，或1时，，或1时，，所以①等价于，则，，当，，则为满足；当，，则为满足，当，，则为满足，当，，则为满足，综上，的所有可能结果、、、.(3)存在正整数n使且，理由如下：由，则，所以，若，，所以，若，则，，，所以，对都有，当时，恒成立，综上，n所有取值为使成立.21．已知数集具有性质P：对任意的，使得成立.(1)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由；(2)已知，求证：；(3)若，求数集A中所有元素的和的最小值.【解析】 (1)∵，∴不具有性质P；∵，∴具有性质P；(2)∵集合具有性质P：即对任意的，使得成立，又∵，∴，∴，即，将上述不等式相加得，∴，由于，∴，∴；(3)最小值为75．首先注意到，根据性质P，得到，∴易知数集A的元素都是整数．构造或者，这两个集合具有性质P，此时元素和为75．下面，证明75是最小的和：假设数集，满足(存在性显然，∵满足的数集A只有有限个)．第一步：首先说明集合中至少有7个元素：由(2)可知，…又，∴；∴；第二步：证明；若，设，∵，为了使得最小，在集合A中一定不含有元素，使得，从而；假设，根据性质P，对，有，使得，显然，∴，而此时集合A中至少还有4个不同于的元素，从而，矛盾，∴，进而，且；同理可证：；(同理可以证明：若，则)．假设．∵，根据性质P，有，使得，显然，∴，而此时集合A中至少还有3个不同于的元素，从而，矛盾，∴，且；至此，我们得到了，根据性质P，有，使得，我们需要考虑如下几种情形：①，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素，才能得到元素8，则；②，此时集合中至少还需要一个大于4的元素，才能得到元素7，则；③，此时集合的和最小，为75；④，此时集合的和最小，为75．22．已知集合，其中．对于，，定义与之间的距离为．（1）记，写出所有使得；（2）记，、，并且，求的最大值；（3）设，中所有不同元素间的距离的最小值为，记满足条件的集合的元素个数的最大值为，求证：．【解析】（1）已知，，且，所以，的所有情形有：、、、；（2）设，，因为，则，同理可得，当时，；当时，.当，时，上式等号成立.综上所述，；（3）设是满足条件的最大集合，即中的元素个数为，所以，、且，，，记集合，那么中的元素个数为，对于中的任意元素，都存在，使得，若不然，假设存在，都有，那么集合中所有不同元素间的距离的最小值为，且中有个元素，这与的最大性矛盾.所以中的每个元素必与中某个元素间的距离不超过.从而，所以，