数学3.3 二项式定理与杨辉三角达标测试

【优质】3.3 二项式定理与杨辉三角练习

一．单项选择

1．在的展开式中，记项的系数为，则（    ）

A． B． C． D．

2．二项式的展开式中的系数为（    ）

A． B． C． D．

3．设(1+x)n=a0+a1x++anxn,若a1+a2++an=63,则展开式中系数最大的项是( )

A．15x2 B．20x3 C．21x3 D．35x3

4．若(3-x)(1+2x)10＝a0＋a1x＋＋a11x11，x∈R，则a1·3＋a2·32＋＋a11·311的值为（    ）

A．39 B．39－1 C．0 D．-3

5．若，则（    ）

A． B． C． D．

6．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为，则的展开式中的常数项是（    ）

A．15 B．-15 C． D．

7． 展开式中，的系数是（    ）

A.  B.  C.  D.

8．二项式的展开式中的系数为（    ）

A． B． C． D．

9．的展开式中常数项为（    ）

A． B．160 C．80 D．

10．已知，则（    ）

A．20 B． C．80 D．

11．展开式中含的项是（    ）

A．第8项 B．第7项 C．第6项 D．第5项

12．的展开式中的系数为（    ）

A． B． C． D．

13．的展开式中，的系数为（    ）

A．0 B．4320 C．480 D．3840

14．若的展开式中的系数之和为，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．1

15．的展开式中，常数项为（    ）

A． B． C．15 D．20

参考答案与试题解析

1．【答案】C

【解析】分析：根据题意，得到展开式中项的系数为：，分别求解，即可得出结果.

详解：根据题意，得到展开式中项的系数为：

，

所以，，，，

因此．

故选：C.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，以及组合数的计算，属于常考题型.

2．【答案】A

【解析】分析：根据二项式展开的通项，求解即可.

详解：通项为

令，则，

故选：A

【点睛】

本题主要考查了求指定项的系数，属于基础题.

3．【答案】B

【解析】令x=1,则(1+1)n=+++=64.∴n=6.

故(1+x)6的展开式中系数最大的项为T4=x3=20x3.

4．【答案】D

【解析】分析：应用赋值法可知，由二项式展开项的通项公式可求，即可求的值.

详解：时，由知：，而，

∴.

故选：D

5．【答案】D

【解析】分析：利用二项式定理可知．．．为负数，．．．．为正数，可得出，然后令可求得所求代数式的值.

详解：二项式的展开式通项为，

所以，的奇数次幂的系数均为负数，偶数次幂的系数均为正数，

即．．．为负数，．．．．为正数，

所以.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用赋值法求解各项系数绝对值之和，要结合二项式定理确定各项系数的正负，考查计算能力，属于中等题.

6．【答案】A

【解析】分析：设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，根据球．圆柱的体积与表面积公式求出，，从而得到，再

详解：解：设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，所以圆柱的体积，球的体积，所以.又圆柱的表面积为，球的表面积为，所以，，，展开式的通项，令，解得，其常数项为.

故选：A

【点睛】

(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零．有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．

7．【答案】B

【解析】展开式的通项为，

令，故，故选：B.

8．【答案】C

【解析】分析：由二项式定理可知，令，解出再代入即可得到答案.

详解：由二项式定理可知，

令，得，

所以的展开式中的系数为.

故选：C

【点睛】

本题主要考查求二项式展开式的通项公式的应用，属于基础题.

9．【答案】A

【解析】分析：在二项展开式的通项公式中，令的指数等于0，求出的值，即可求得常数项.

详解：展开式的通项公式为，

令，可得，故展开式的常数项为.

故选：A.

【点睛】

本题考查了利用二项式定理求常数项，关键在于写出二项展开式的通项，属于基础题.

10．【答案】D

【解析】分析：将记为，即为此二项展开式的第三项的系数.

详解：因为，第三项为，

所以.

故选：D

【点睛】

本题考查二项展开式的特定项系数，属于基础题.

11．【答案】C

【解析】分析：根据二项展开式的通项公式，求得含项对应的r即可得到结论.

详解：解：展开式的通项公式为：；

令；

故展开式中含的项是第6项.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

12．【答案】A

【解析】分析：先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次为3，得，从而可求出的系数

详解：展开式的通项公式为，

令k=3，则，

则x3的系数为，

故选：A.

【点睛】

此题考查二项式定理的应用，属于基础题

13．【答案】B

【解析】分析：由于，所以的展开式中的系数等于9乘以展开式中的系数，减去12乘以展开式中的系数，再加上4乘以展开式中的系数即可得答案

详解：依题意，，展开式的通项公式为，

故的系数为

.

故选：B

【点睛】

此题考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于基础题

14．【答案】B

【解析】分析：由，进而分别求出展开式中的系数及展开式中的系数，令二者之和等于，可求出实数的值.

详解：由，

则展开式中的系数为，展开式中的系数为，

二者的系数之和为，得.

故选：B.

【点睛】

本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

15．【答案】C

【解析】分析：求出展开式通项，令的指数为0即可求出.

详解：由题可得展开式的通项为，

令，解得，则可得常数项为.

故选：C.