数学选择性必修 第二册3.1.3 组合与组合数课后测评

【精挑】3.1.3 组合与组合数-3优选练习

一．单项选择

1．现安排名同学．．．．参加志愿者服务活动，每人从事接待．后勤保障．服务．司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.．不会开车但能从事其他三项工作，．．都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（    ）

A． B． C． D．

2．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(  )

A．24 B．18 C．12 D．9

3．高三年级有8个班级，分派4位数学老师任教，每个教师教两个班，则不同的分派方法有（    ）

A． B．

C． D．

4．某年数学竞赛请自以为来自X星球的选手参加填空题比赛，共10道题目，这位选手做题有一个古怪的习惯：先从最后一题（第10题）开始往前看，凡是遇到会的题就作答，遇到不会的题目先跳过（允许跳过所有的题目），一直看到第1题；然后从第1题开始往后看，凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案，遇到先前已答的题目则跳过（例如，他可以按照9,8,7,4,3,2,1,5,6,10的次序答题），这样所有的题目均有作答，设这位选手可能的答题次序有n种，则n的值为（    ）

A．512 B．511 C．1024 D．1023

5．若数字1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，则数字3，6不相邻且数字4不在第四位（从左往右数）的六位数的个数有（    ）

A．228 B．312 C．396 D．480

6．满足,且关于x的方程有实数解的有序数对的个数为（ ）

A．14 B．13 C．12 D．10

7．若，则（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

8．我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到A，B，C三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去A医疗点，则不同分配种数为（    ）

A．116 B．100 C．124 D．90

9．6名医生赴武汉的雷神山医院和火神山医院支援抗疫，每个医院至少分派2名医生，则不同的分派方案有（    ）

A．70种 B．35种 C．25种 D．50种

10．首届中国国际进口博览会于2018年11月5日至10日在上海举办，本届展会共有来自172个国家．地区和国际组织参会，3600多家企业参展，超过40万名采购商到会洽谈采购，其中中国馆更是吸引众人眼球．为了使博览会有序进行，组委会安排6名志愿者到中国馆的某4个展区提供服务，要求展区各安排一名志愿者，其余两个展区各安排两名志愿者，其中小马和小王不在一起，则不同的安排方案共有（    ）

A．156种 B．168种 C．172种 D．180种

11．若用红．黄．蓝．绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有（     ）

A．种 B．种 C．种 D．种

12．式子（    ）

A．83 B．84 C．119 D．120

13．用0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且能被2整除的三位数的个数是（    ）

A．50 B．52 C．54 D．56

14．满足的最大自然数=（     ）

A．7 B．8

C．9 D．10

15．2020年高考强基计划中，北京大学给了我校10个推荐名额，现准备将这10个推荐名额分配给高三理科的6个班级，这6个班级每班至少要给一个名额，则关于分配方案的种数为（     ）

A．462 B．126

C．210 D．132

16．为抗击新冠病毒，某部门安排甲．乙．丙．丁．戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲．乙两名专家必须安排在同一地工作，丙．丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（    ）

A．18 B．24 C．30 D．36

17．某科技小组有四名男生两名女生.现从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为(    )

A． B． C． D．

18．4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同．下列结论中正确的是（    ）

A．恰有四支球队并列第一名为不可能事件 B．有可能出现恰有三支球队并列第一名

C．恰有两支球队并列第一名的概率为 D．只有一支球队名列第一名的概率为

参考答案与试题解析

1．【答案】C

【解析】分两种情况讨论，一是只有一人从事开车工作．二是有两人从事开车工作，将其他人分配另外三项工作，利用分类计数原理可求得结果.

详解：分以下两种情况讨论：

（1）只有一人从事开车工作，有种选择，然后将其余人分为组，分配给其他三种工作，此时，安排方案数为种；

（2）有两人从事开车工作，有种选择，然后将其余人分配给其他三种工作，此时，安排方案数为种.

综上所述，不同安排方案的种数种.

故选：C.

【点睛】

本题考查分组分配问题，涉及分类计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.

2．【答案】B

【解析】详解：解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，

从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，

每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22＝6种走法．

同理从F到G，最短的走法，有C31C22＝3种走法．

∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3＝18种走法．

故选B．

【考点】

计数原理．组合

【名师点睛】

分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的．

3．【答案】B

【解析】先将班级均分成4组，然后全排列即可求解.

详解：分两步，第一步将高三8个班级，两两一组分4组，共有种分法，第二步将4位数学老师分配到这4组，共有种情况，所以不同的分派方法有=.

故选：B

【点睛】

本题主要考查排列组合交汇的问题，一般先组合后排列，考查逻辑推理能力，属于基础题.

4．【答案】A

【解析】按照规则，相当于将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10按照规则排序，要求放在1左侧的数字从大到小，右侧从小到大(1可以在两端)，设1左侧有n个数字，不同的排序方法有种，一共有种.

详解：设从最后一题(第10题)开始往前看直到第2题，做了道题，这n道题的顺序只能从大到小或者不答题，则不同的答题情况有种，则剩下的10-n道题只能一种答法，

所以可能的答题次序一共有种.

故选：A

【点睛】

本题考查分步计数原理，其中涉及组合知识，各个二项式系数的和为，关键在于等价转化，属于中档题.

5．【答案】C

【解析】首先求出数字3，6不相邻的情况，再求出3，6不相邻且数字4在第四位的情况，即可得解；

详解：解：数字3，6不相邻的情况共有（种），其中数字4在第四位的情况有（种），则数字3，6不相邻且数字4不在第四位（从左往右数）的六位数的个数为.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查排列组合的有关知识，考查考生的逻辑推理能力，属于中档题.

6．【答案】B

【解析】详解：当a＝0时，方程为2x+b＝0，此时一定有解；

此时b＝﹣1，0，1，2；即（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2）四种；

当a≠0时，方程为一元二次方程，

∴△＝4﹣4ab≥0，则ab≤1.

当a＝﹣1，1，2时，此时a，b的对数为（﹣1，0），（﹣1，2），（﹣1，﹣1），

（﹣1，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），共9种，

关于x的方程ax2+2x+b＝0有实数解的有序数对的个数为13种，

故的个数为，选B.

考点：排列组合

7．【答案】B

【解析】根据排列数与组合数公式列方程计算即可.

详解：解：由得：，解得：或（舍去）.

故选：B.

【点睛】

本题考查排列数与组合数公式，属于基础题.

8．【答案】B

【解析】完成这件事情可分2步进行：第一步将5名医学专家分为3组；第二步将分好的3组分别派到三个医疗点，由分步计数原理计算即可得到答案．

详解：根据已知条件，完成这件事情可分2步进行：

第一步：将5名医学专家分为3组

①若分为3,1,1的三组，有种分组方法；

②若分为2,2,1的三组，有种分组方法，

故有种分组方法．

第二步：将分好的三组分别派到三个医疗点，甲专家不去医疗点，

可分配到医疗点中的一个，有种分配方法，

再将剩余的2组分配到其余的2个医疗点，有种分配方法，

则有种分配方法．

根据分步计数原理，共有种分配方法．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查排列．组合的应用，同时考查分步计数原理，属于基础题．

9．【答案】D

【解析】由题意将分派方案分为雷神山医院分派2名医生．3名医生．4名医生3种，利用分类求和与组合的知识即可得解.

详解：6名医生赴武汉的雷神山医院和火神山医院支援抗疫，每个医院至少分派2名医生，可分为三种情况：

①雷神山医院分派2名医生，共有种分派方案；

②雷神山医院分派3名医生，共有种分派方案；

③雷神山医院分派4名医生，共有种分派方案；

所以不同的分派方案有种.

故选：D.

【点睛】

本题考查了计数原理的应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，关键是对事件合理分类，属于中档题.

10．【答案】A

【解析】先抓住特殊元素（小马和小王）与特殊位置（两个展区），再优先安排特殊元素的位置与特殊位置的元素，最后采用分类与分步计数原理相结合的方法求解．

详解：分成三类：（1）小马和小王去展区，安排方案有（种）；

（2）小马和小王有一人去两个展区中的一个展区，安排方案有（种）；

（3）小马和小王均没有去展区，安排方案有（种）．

综上可知，不同的安排方案共有（种），

故选：A

【点睛】

11．【答案】C

【解析】分析：直接按照乘法分步原理解答.

详解：

按照以下顺序涂色，

,

所以由乘法分步原理得总的方案数为种.

所以总的方案数为96，

故答案为：C

点睛：（1）本题主要考查排列组合计数原理的应用，意在考查学生的逻辑思维能力和排列组合的基本运算能力.解答排列组合时，要思路清晰，排组分清.（2）解答本题时，要注意审题，“有公共顶点的两个格子颜色不同”，如C和D有公共的顶点，所以颜色不能相同.

12．【答案】C

【解析】根据组合数的计算公式，化简运算，即可求解.

详解：由题意，根据组合数的计算公式，

可得

.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了组合数的化简与运算，其中解答中熟记组合数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.

13．【答案】B

【解析】特殊元素优先考虑，即优先考虑个位数是0的情况，再考虑不是0的情况，最后将所有结果加起来即可.

详解：能被2整除的三位数是偶数，

当个位数是0时，有种情形；

当个位数是2或4时，其中最高位不能是0，则有种情形，

因此，能被2整除的三位数的个数是种.

故选：B

【点睛】

本题考查排列组合中的排数问题，属于基础题.

14．【答案】B

【解析】利用二项展开式及求导，可得，再令，即可得答案.

详解：∵，

∴两边求导得：，

令得：，解得.

故选：B.

【点睛】

本题考查二项展开式及求导的综合运用，考查函数与方程思想．转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意赋值法的应用.

15．【答案】B

【解析】利用隔板法进行求解，即可得答案.

详解：将10个名额分为6份，即从9个分段中选择5个段分开，且不分顺序，

共有种方案.

故选：B.

【点睛】

本题考查隔板法进行组合数计算，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

16．【答案】C

【解析】由甲．乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲．乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，再去掉丙．丁两名专家在同一地工作的排列数，即可得到答案.

详解：因为甲．乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲．乙两名专家

看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，

先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和

其余二个看成三个元素的全排列共有：种；

又因为丙．丁两名专家不能安排在同一地工作，

所以再去掉丙．丁两名专家在同一地工作的排列数有种，

所以不同的分配方法种数有：

故选：C

【点睛】

本题考查了排列组合的应用，考查了间接法求排列组合应用问题，属于一般题.

17．【答案】C

【解析】分只有一名女生入选和有二名女生入选两种情况，结合分步乘法计数原理以及分类加法计数原理，即可得出答案.

详解：当只有一名女生入选时，先选1名女生，有种，再选2名男生，有种，则根据分步乘法计数原理可知，有种

当有二名女生入选时，选选2名女生，有种，再选1名男生，有种，则根据分步乘法计数原理可知，有种

所以从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为

故选：C

【点睛】

本题主要考查了组合的应用，涉及了分步乘法计数原理以及分类加法计数原理的应用，属于中档题.

18．【答案】ABD

【解析】4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；

选项A，这6场比赛中不满足4支球队得分相同的的情况；

选项B，举特例说明即可；

选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有种可能，再分类计数相互获胜的可能数，最后由古典概型计算概率；

选项D，只有一支球队名列第一名，则该球队应赢了其他三支球队，由古典概型问题计算即可.

详解：4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；

选项A，这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支或1支队伍获胜，那么所得分值不可能都一样，故是不可能事件，正确；

选项B，其中6场比赛中，依次获胜的可以是，此时3队都获得2分，并列第一名，正确；

选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有种可能，若选中a，b，其中第一类a赢b，有a,b,c,d,a,b和a,b,d,c,a,b两种情况，同理第二类b赢a，也有两种，故恰有两支球队并列第一名的概率为，错误；

选项D，从4支球队中选一支为第一名有4种可能；这一支球队比赛的3场应都赢，则另外3场的可能有种，故只有一支球队名列第一名的概率为，正确.

故选：ABD

【点睛】

本题考查利用计数原理解决实际问题的概率问题，还考查了事件成立与否的判定，属于较难题.