高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册第四章 概率与统计4.2 随机变量4.2.1 随机变量及其与事件的联系同步练习题

【精选】4.2.1 随机变量及其与事件的联系-1课堂练习

一．单项选择

1．《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图．洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一．六在后，二．七在前，三．八在左，四．九在右，五．十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为（    ）

A． B． C． D．

2．随机变量的概率分布规律为其中是常数，则的值为(   )

A． B． C． D．

3．随机变量X所有可能取值的集合是，且，则的值为（ ）

A． B． C． D．

4．盒中有10只螺丝钉，其中有2只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么恰好有2只是坏的的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．随机变量的分布列如表所示，若，则（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

6．设是一个离散型随机变量，其分布列为：则等于(    )

A． B． C． D．

7．从标1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为ξ，那么随机变量ξ可能取的值有（  ）

A．17个 B．18个

C．19个 D．20个

8．若是离散型随机变量，，，且.又已知，，则的值为（    ）

A．9 B．6 C．5 D．4

9．随机变量的所有等可能取值为1,2,,n，若P(<4)=0.3,则n=（ ）

A．3 B．4 C．10 D．不确定

10．随机变量的概率分布规律为，则（    ）

A． B．110 C． D．55

11．随机变量的分布列如下表，其中，且，则（    ）

A． B． C． D．

12．已知随机变量的分布列是

则P(X>1)=（    ）

A． B． C．1 D．

13．设随机变量x的分布列为，其中k为常数，则的值为（    ）

A． B． C． D．

14．某位同学求得一个离散型随机变量的分布列如下：

则常数的值为（    ）

A． B． C． D．

15．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为，则表示“放入袋中4回小球”的事件为（    ）

A． B． C． D．

16．设随机变量，函数有零点的概率是0. 5，则等于（    ）

A．1 B．2 C．3 D．不确定

17．泊松分布是一种离散概率分布由法国数学家西莫恩·德尼·泊松于年发表，适合于描述单位时间内随机事件发生的次数.泊松分布的概率函数为，是自然对数的底数，是泊松分布的均值.用于制造核武器和核反应堆的钚是钚的同位素，一纳克钚每秒平均发生次放射性衰变，假设衰变次数服从泊松分布，则秒内一纳克钚恰好发生次放射性衰变的概率约为（    ）（参考数据：，）

A． B． C． D．

18．已知离散型随机变量的分布列如下：

则的值为（    ）

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4

参考答案与试题解析

1．【答案】C

【解析】分析：本题首先可以根据题意确定个数中的阳数和阴数，然后求出任取个数中有个阳数以及任取个数中有个阳数的概率，最后两者相加，即可得出结果.

详解：由题意可知，个数中，．．．．是阳数，．．．．是阴数，

若任取个数中有个阳数，则，

若任取个数中有个阳数，则，

故这个数中至少有个阳数的概率，

故选：C.

【点睛】

本题考查超几何分布的概率计算，从有限的个物品（包括个指定物品）中抽取个物品，若抽取的个物品中有个指定物品，则概率，考查计算能力，是中档题.

2．【答案】D

【解析】详解：由题意，由所有概率的和为可得，

，故选.

3．【答案】C

【解析】分析：先求得，再由可得结果.

详解：依题意可得，

所以.

故选：C.

4．【答案】C

【解析】分析：利用超几何分布概率公式计算概率．

详解：解： 设表示取出的螺丝钉恰有只是坏的，则．

∴．

故选：C．

5．【答案】B

【解析】由于，利用随机变量的分布列列式，求出和，由此可求出，再由，即可求出结果.

详解：根据题意，可知：，则，

，即：，

解得：，

，

，

则，

.

故选：B.

【点睛】

本题考查离散型随机变量的方差的求法，以及离散型随机变量的分布列？数学期望等知识，考查运算求解能力.

6．【答案】C

【解析】利用分布列概率和为1，列出方程求解即可．

详解：解：由题意可得，

可得，解得，（舍去）．

当时，，此题无解．

故选：C．

【点睛】

本题考查离散性随机变量的分布列的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．

7．【答案】A

【解析】2支竹签上的数字是1~10中的两个，若其中一个为1，另一个可取2~10，相应X可取得3~11，同理一个为2，另一个可取3~10，相应X可取得5~12，以此类推，可看到X可取得3~19间的所有整数，共17个.

8．【答案】B

【解析】根据均值和方差的计算公式得到关于 的方程组，解方程组后可得正确的选项.

详解：由题设，.

可得，

，

解得或（舍），

故.

故选：B.

【点睛】

本题考查离散型随机变量均值与方差的计算，此类问题利用公式列出所求变量的方程组并求解即可，属于基础题.

9．【答案】C

【解析】等可能事件，即每个值取到可能性一样，而小于4的数有3个，从而有，可解得．

详解：是等可能地取值,

.

.

故选：C.

10．【答案】C

【解析】分析：由概率和为1即可得结果.

详解：由于随机变量的概率分布规律为，

所以，解得，

故选：C.

11．【答案】C

【解析】分析：由分布列可得，结合条件先解出，从而得出答案.

详解：由分布列可得，又，则，

由，即，即

所以，所以

所以

故选：C

12．【答案】A

【解析】分析：直接根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可得答案．

详解：根据离散型随机变量的分布列的概率和为得：，

所以，

所以，

故选：A.

13．【答案】D

【解析】分析：首先利用分布列中概率之和等于求得的值，再计算即可求解.

详解：由分布列的性质可知：，

即，解得：，

所以，，

，，

所以，

故选：D.

14．【答案】C

【解析】分析：根据分布列的概率和为1求解即可.

详解：解：由于概率分布列的概率和为1，

所以，解得.

故选：C

15．【答案】B

【解析】“放入袋中4回小球”也即是第5次抽取到了红球，由此求得的值.

详解：根据题意可知，如果没有抽到红球，则将黑球放回，然后继续抽取，所以“放入袋中4回小球”也即是前4次都是抽到黑球，第5次抽到了红球，故.

故选：B.

【点睛】

本小题主要考查对离散型随机变量的理解，考查抽样方法的理解，属于基础题.

16．【答案】A

【解析】根据二次函数有零点，可得，，根据正态分布知识可得，所以.

详解：因为函数有零点，所以，即，

所以，又随机变量，且，

所以.

故选：A.

【点睛】

本题考查了二次函数的零点，考查了正态分布，属于基础题.

17．【答案】B

【解析】分析：计算出的值，利用泊松分布的概率函数可求得的值.

详解：因为一纳克钚每秒平均发生次放射性衰变，所以秒内一纳克钚发生放射性衰变的均值为次，

因为衰变次数服从泊松分布，所以，

所以，

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是能够根据题意得到，并能正确计算.

18．【答案】A

【解析】分析：由分布列的性质求解即可

详解：由分布列的性质可得：

，解得，

故选：A