高中数学3.1.1 基本计数原理精练

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【名师】3.1.1 基本计数原理-1课时练习一．单项选择1．教学楼共有6层楼，每层都有南？北两个楼梯，从一楼到六楼共有（    ）种走法A． B． C． D．2．把6个仅颜色不同的小球排成一排，其中1个黄球，2个白球，3个黑球，则相同颜色的球都不相邻的不同排法共有（）种A．3 B．6 C．10 D．123．已知，则可表示不同的值的个数为（    ）A．8 B．9 C．10 D．124．3名同学选报4门校本选修课，每个同学可自由选择一门，则不同的选择种数是（    ）A．81 B．64 C．24 D．125．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设是正四棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正四棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（    ）A．4 B．8 C．12 D．166．将4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（    ）A． B． C． D．7．从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有（    ）A．6种 B．9种 C．10种 D．15种8．四色定理(Fourcolortheorem)又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一.它是于年由毕业于伦敦大学的格斯里(FrancisGuthrie)提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”四色问题的证明进程缓慢，直到年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理.某校数学兴趣小组在研究给四棱锥的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公共棱的平面）不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，那么不同的涂法有（    ）A．种 B．种 C．种 D．种9．将封不同的信分别投入到个信箱中，则不同的投送方式的种数为（    ）A． B． C． D．10．4位同学报名参加三个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（    ）A．12种 B．64种 C．81种 D．24种11．设A是集合的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（    ）A．32 B．56 C．72 D．8412．数学上的“四色问题”，是指“任何一张地图只用四种颜色就能使具有公共边界的国家着上不同的颜色”，现有五种颜色供选择，涂色我国西部五省，要求每省涂一色，相邻各省不同色，有（    ）涂色方法. A．120种 B．180种 C．380种 D．420种13．如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙甲地有2条路，从丙地到丁地有4条路.则从甲地到丁地不同的路线有（    ）A．11条 B．12条 C．13条 D．14条14．在端午小长假期间，某办公室要从4名职员中选出若干人在3天假期坚守岗位，每天只需1人值班，则不同的排班方法有（    ）A．12种 B．24种 C．64种 D．81种15．随着新冠疫苗的成功研发，某地区开始对重点人群进行新冠疫苗接种为了配合社区对新冠疫苗接种人员讲解注意事项，某医科大学共派出4名男志愿者和2名女志愿者参与该地区志愿服务.已知6名志愿者将会被分为2组派往该地区的2个不同的社区，且女志愿者不单独成组，若每组不超过4人，则不同的分配方法种数为（    ）A．32 B．40 C．48 D．5616．下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（ ）A．14条 B．12条 C．9条 D．7条17．如图，现要用四种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为（    ）A． B． C． D．18．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有（　　）种．A． B． C．105 D．510
参考答案与试题解析1．【答案】A【解析】分析：利用分步计数原理求解即可详解：解：由题意可得，从一楼到二楼有2种方法，从二楼到三楼有2种方法，从三楼到四楼有2种方法，从四楼到五楼有2种方法，从五楼到六楼有2种方法，所以由分步计数原理可得从一楼到六楼共有种走法，故选：A2．【答案】C【解析】分析：按两个白球所在的位置分成两类，分别计算出每一类的排法数即可得解.详解：符合要求的排法数，先排3个黑球，只有一种方法，排余下3球，分成两类：2个白球都不在边上，让2个白球把3个黑球间开排成一排，再把黄球放入5球形成的6个间隙中，符合要求，有6种排法，2个白球恰有一个在边上，有2种排法，其中的每一种排法，黄球与另一白球的排法有2种，符合要求的排法是种，由分类加法计数原理知，符合要求的不同排法共有种，所以相同颜色的球都不相邻的不同排法共有10种.故选：C3．【答案】B【解析】分析：对的值一一列举即可得到答案.详解：因为，所以时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，；一共有9个不同结果.故选：B4．【答案】B【解析】分析：有题意可知每个同学有4种不同的选法，按照分步计数原理相乘即可.详解：解：因为每个同学可自由选择一门，所以每个同学有4种不同的选法，所以共有种不同的选择种数.故选：B5．【答案】B【解析】分析：先找出包含的底面矩形，再根据图形特征，逐个计数即可.详解：如图，若包含的底面矩形为，则顶点可以从，，，中选取，故有四个不同的阳马；若包含的底面矩形为，则顶点可以从，，，中选取，故有四个不同的阳马；若包含的底面矩形为，则从，，，中任取一个作为顶点，都不符合阳马，故舍去.综上可知，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是8个.故选：B.6．【答案】C【解析】分析：直接利用分步原理的应用求出结果．详解：解：根据分步原理的应用，所以：第一封信的投法有3种，第二封信的投法有3种，第三封信的投法有3种，第四封信的投法有3种，故一共有种投法．故选：C．7．【答案】C【解析】分析：利用列举法即能求出结果．详解：解：从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数相加，所得的最小值为，最大值为，，，，，，，，，，共有：10种不同结果．故选：C．8．【答案】B【解析】分析：先确定底面的涂色种数，然后依次确定侧面．平面的涂色方法种数，对侧面与侧面的所涂颜色是否相同进行分类讨论，确定侧面的涂色方法种数，利用分步和分类计数原理可得结果.详解：如下图所示：底面的涂色有种选择，侧面有种选择，侧面有2种选择.①若侧面与侧面所涂颜色相同，则侧面有种选择；②若侧面与侧面所涂颜色不同，则侧面有种选择，侧面有种选择.综上所述，不同的涂法种数为种.故选：B.9．【答案】A【解析】分析：由分步乘法计数原理可得答案.详解：将封不同的信分别投入到个信箱中，每封信都有4个信箱可选，共有，则不同的投送方式的种数为.故选：A.10．【答案】C【解析】分析：根据分步乘法计算原理，由题中条件，可直接求出结果.详解：4位同学报名参加三个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（种）.故选：C．11．【答案】B【解析】分析：分类列举出每一种可能性即可得到答案.详解：若1,3在集合A内，则还有一个元素为5,6,7,8,9,10中的一个；若1,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；若1,8在集合A内，则还有一个元素为10；共有6+5+4+3+2+1=21个.若2,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；若2,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；若2,8在集合A内，则还有一个元素为10；共有5+4+3+2+1=15个.若3,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；若3,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；若3,8在集合A内，则还有一个元素为10；共有4+3+2+1=10个.若4,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；若4,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；若4,8在集合A内，则还有一个元素为10；共有3+2+1=6个.若5,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；若5,8在集合A内，则还有一个元素为10；共有2+1=3个.若6,8,10在在集合A内，只有1个.总共有21+15+10+6+3+1=56个故选：B.12．【答案】D【解析】分析：根据题意，分4步依次分析5个省的涂色方法的数目，进而结合分步计数原理，计算可得答案．详解：解：根据题意，依次分析5个省的涂色方法的数目：对于新疆有5种涂色的方法，对于青海有4种涂色方法，对于西藏有3种涂色方法，对于四川与甘肃：若西藏与甘肃颜色相同，则有3种涂色方法，若西藏与甘肃颜色不相同，则甘肃有2种涂色方法，四川有2种涂色方法，则西藏与甘肃的涂色方法有3+2×2=7种，则共有5×4×3×7=420种涂色方法；故选：D．13．【答案】D【解析】分析：分两类：第一类，从甲过乙到丁分两步，第二类，从甲过丙到丁分两步，然后利用分类加原理和分步乘法原理求解即可详解：从甲到丁分为两类，第一类，从甲过乙到丁分两步，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路，由分步乘法计数原理得，从甲到丁有6种走法；第二类，从甲过丙到丁分两步，从甲地到丙地有2条路，从丙地到丁地有4条路，由分步乘法计数原理得，从甲到丁有8种走法，再由分类加法计数原理得，从甲到丁共有种走法.故选：D.14．【答案】C【解析】分析：分析每天排班方法数，再由分步计数原理求解即可详解：根据题意，第一天值班可以安排4名职员中的任意1人，有4种排班方法，同理第二天和第三天也有4种排班方法，根据分步计数原理可知，不同的排班方法有种，故选：C15．【答案】C【解析】分析：法一：首先按每组人数不同分．两类，再求组内人员安排的方法数，进而求两组安排到两个不同社区的方法，最后加总；法二：先安排一个社区，讨论有0个．1个．2个女志愿者的安排方法数，再加总即可.详解：法一：分两种情况，①分为3，3的两组时，2名女志愿者不单独成组，有种分组方法，再对应到两个社区参加志愿工作，有种情况，此时共有种分配方法.②分为2，4的两组时，有种分组方法，其中有1种两名女志愿者单独成组的情况，则有14种符合条件的分组方法，再对应到两个社区参加志愿工作，有种情况，此时共有种分配方法.∴共有种分配方法.法二：先安排第一个社区，若没有女志愿者，则有种；若有1名女志愿者，则有种；若有2名女志愿者，则有种，∴不同的分配方法种数为，故选：C.16．【答案】B【解析】分析：根据分步乘法计算原理即可求解.详解：由图可知，由①④有3条路径，由④⑥有2条路径，由⑥⑧有2条路径，根据分步乘法计算原理可得从①⑧共有条路径.故选：B17．【答案】A【解析】分析：先给四个区域标记，然后根据分步乘法计数原理求解出着色的方法数.详解：将四个区域标记为，如下图所示：第一步涂：种涂法，第二步涂：种涂法，第三步涂：种涂法，第四步涂：种涂法，根据分步乘法计数原理可知，一共有种着色方法，故选：A.18．【答案】D【解析】分析：以乘客为研究对象，每位乘客下车的方法有5种，结合分步计数原理可得答案.详解：公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，每位乘客下车的方法有5种，乘客下车的可能方式有510种，故选：D．