高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.1.3 组合与组合数达标测试

【基础】3.1.3 组合与组合数-2练习

一．单项选择

1．安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（

A．60种 B．90种 C．150种 D．300种

2．广东省实施“3+1+2”的新高考改革模式，“3”指全国统一高考的语文？数学？外语，“1”指物理？历史2门中选择1门，“2”指思想政治？地理？化学？生物4门中选择2门. 已知甲选择物理，乙选择地理，则甲乙两人有（    ）不同的选择组合方案.

A．12种 B．18种 C．36种 D．48种

3．某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法（     ）

A． B． C． D．

4．已知集合，，，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中向量的坐标，则可确定不同向量的个数为（    ）

A．33 B．34 C．35 D．36

5．2020年4月30日，我国的5G信号首次覆盖了海拔8000米的珠穆朗玛峰峰顶和北坡登山路线，为了保证中国登山队珠峰高程测量的顺利直播，现从海拔5300米．5800米和6500米的三个大本营中抽出了4名技术人员，派往北坡登山路线中的3个崎岖路段进行信号检测，每个路段至少安排1名技术人员，则不同的安排方法共有（    ）

A．72 B．36 C．48 D．54

6．2020年湖北抗击新冠肺炎期间，全国各地医护人员主动请缨，支援湖北，某地有3名医生．6名护士来到武汉，他们被随机分到3家医院，每家医院1名医生．2名护士，则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为（    ）

A． B． C． D．

7．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（   ）

A．10 种 B．20 种 C．36 种 D．52 种

8．若，则（    ）

A．5 B．7 C．6 D．4

9．甲乙和其他2名同学合影留念，站成两排两列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这4名同学的站队方法有（    ）

A．8种 B．16种 C．32种 D．64种

10．某高一学生将来准备报考医学专业.该同学已有两所心仪大学，，其中大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学，大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门.若该同学将来想报考这两所大学中的其中一所那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有（    ）

A．21种 B．23种 C．25种 D．27种

11．某市抽调两个县各四名医生组成两个医疗队分别去两个乡镇开展医疗工作，每队不超过五个人，同一个县的医生不能全在同一个队，且同县的张医生和李医生必须在同一个队，则不同的安排方案有（    ）

A．36种 B．48种 C．68种 D．84种

12．甲．乙．丙．丁4名学生参加体育锻炼，每人在A，B，C三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选A项．乙不选B项的概率为（    ）

A． B． C． D．

13．已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共有（  ）

A．240种 B．360种 C．480种 D．600种

14．安排3人完成5项不同工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式种数为（    ）

A．60 B．150 C．180 D．240

15．甲．乙．丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（    ）

A．90 B．120 C．210 D．216

16．某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲？乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得﹣30分；选乙题答对得10分，答错得﹣10分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（    ）

A．24 B．36 C．40 D．44

17．将甲．乙．丙．丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少一名，则不同分法的种数为（   ）

A．18 B．24 C．36 D．72

18．已知有穷数列（，2，3，，6）满足，且当（i，，2，3，，6）时，.若，则符合条件的数列的个数是（    ）

A． B． C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】C

【解析】首先按每个人工作的项目数，分成和，再分别计算即可.

详解：按每个人工作的项目数，分成两种情况，

第一种情况，项目数为，共有种，

第二种情况，项目数为，共有种，

总共的方法共有种.

故选：C

【点睛】

本题主要考查均匀分组问题，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.

2．【答案】C

【解析】先分别计算甲乙各有多少种选科方案，然后再考虑两人的组合方案．

详解：甲的选科方案有种，乙的选科方案有种，两人的选择组合方案有种，

故选：C．

【点睛】

本题考查组合的应用，解题时需确定完成事件的方法，根据分类分步计数原理计算．

3．【答案】C

【解析】利用间接法求解．从六科中选考三科的选法有，其中包括了没选物理．化学．生物中任意一科与没选政治．历史．地理中任意一科，这两种选法均有，因此考生共有多少种选考方法有种．

4．【答案】A

【解析】根据题意，先求得不考虑限定条件确定的不同的点的个数，进而考虑集合中的相同元素2，出现了3个重复的情况，进而计算可得答案.

详解：由题意，不考虑限定条件确定的不同点的个数为,

但集合中有相同元素2，

由三个数确定的不同点的个数只有三个，

故所求的个数为个.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了排列．组合的综合运用，注意从反面分析，并且注意到集合中有相同元素2从而导致出现重复的情况，着重考查分析问题和解答问题的能力.

5．【答案】B

【解析】先从这4人中选出2人作为一个元素看成整体，再把它同另外两人在三个位置全排列，根据分步乘法原理得到结果.

详解：解：因为将4名技术人员，派往北坡登山路线中的3个崎岖路段进行信号检测，每个路段至少安排1名技术人员，

所以先从这4人中选出2人作为一个元素看成整体，再把它同另外两人在三个位置全排列，则共有种不同的安排方法，

故选：B

【点睛】

此题考查排列组合及简单的计数问题，属于基础题.

6．【答案】D

【解析】平均分成3组有种分法，每家医院1名医生．2名护士的分配方法有种分法，医生甲和护士乙分到同一家医院的分配方法有种分法，最后利用公式计算即可得解.

详解：3名医生平均分成3组，有1种分法，6名护士平均分成3组有种分法，

3名医生．6名护士分到3家医院，每家医院1名医生．2名护士的分配方法有

（种），

医生甲和护士乙分到同一家医院的分配方法有（种），

则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为.

故选：D.

【点睛】

本题考查排列组合，考查古典概型，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.

7．【答案】A

【解析】根据题意，可得1号盒子至少放一个，最多放2个小球，即分两种情况讨论，分别求出其不同的放球方法数目，相加可得答案．

详解：由题意得，把个颜色不相同的球分为两类：

一类是：一组1个，一组3个，共有种，按要求放置在两个盒子中，共有种不同的放法；

另一类：两组各两个小球，共有种不同的放法，按要求放置在两个盒子中，共有种.

所以共有种不同的放法.

故选：A.

8．【答案】A

【解析】利用排列与组合数公式，进行化简计算即可．

详解：∵，

∴，

化简得，

解得．

故选：A．

【点睛】

本题考查了排列与组合的计算与化简问题，是基础题．

9．【答案】A

【解析】根据题意，分3步进行讨论：先在4个位置中任选一个安排甲，再安排乙，最后将剩余的2个人，安排在其余的2个位置，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.

详解：根据题意，分3步进行讨论：

10．【答案】C

【解析】报考A大学的选择方案有种，报考B大学的选择方案有种，最后利用分步计数原理计算即可得解.

详解：大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学，故报考A大学的选择方案有种；

大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门，故报考B大学的选择方案有种；

该同学将来想报考这两所大学中的其中一所那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有种.

故选：C.

【点睛】

本题考查排列组合的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.

11．【答案】C

【解析】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，对甲乡镇派遣的医生人数进行分类讨论，并计算出每种情况下的安排方案种数，利用分类加法计数原理可得结果.

详解：设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，

若甲乡镇派遣三名医生，则共有种方案；

若甲乡镇派遣四名医生，则共有种方案；

若甲乡镇派遣五名医生，则共有种方案．

综上可得，不同的派遣方案有种．

故选：C.

【点睛】

本题考查人员的分配问题，考查分类讨论基本思想的应用，考查计算能力，属于中等题.

12．【答案】B

【解析】法一：根据题意，先求出总的选择方式有多少种，再求甲不选A项．乙不选B项有多少种，代入公式求解即可；

法二：只分析甲乙，总可能性有三种，满足题意各有两种，根据乘法原理即可求解.

详解：法一：每位学生选择三个锻炼项目有种，则4人总的选择方式共有种；其中甲．乙的选择方式有种，其余两人仍有种，故甲不选A．乙不选B项目的概率为.

法二：只考虑甲．乙的选择，不加限制均为3种，受到限制后均为2种，而甲乙的选择相互独立，故甲不选A．乙不选B项目的概率为.

【点睛】

本小题主要考查分类加法原理和分步乘法原理．概率等基础知识；考查应用意识．创新意识；考查分类与整合等思想方法，属基础题.

13．【答案】C

【解析】分析：本题属于有限制条件的排列问题，解题时可按照领导丙的位置分为6类，求出每一类的排法后再根据分类加法计数原理求解总的排法．

详解：用分类讨论的方法解决．如图中的6个位置，

①当领导丙在位置1时，不同的排法有种；

②当领导丙在位置2时，不同的排法有种；

③当领导丙在位置3时，不同的排法有种；

④当领导丙在位置4时，不同的排法有种；

⑤当领导丙在位置5时，不同的排法有种；

⑥当领导丙在位置1时，不同的排法有种．

由分类加法计数原理可得不同的排法共有480种．

故选C．

点睛：解决排列组合问题的步骤：

①弄清完成一件事是做什么；②确定是先分类后分步，还是先分步后分类；③弄清分步．分类的标准是什么；④利用两个计数原理及排列数或组合数求解．

14．【答案】B

【解析】根据题意，分2步进行分析：①．分两种情况讨论将5项工作分成3组的情况数目，②．将分好的三组全排列，对应3名志愿者，由分步计数原理计算可得答案．

详解：解：根据题意，分2步进行分析：

①．将5项工作分成3组，

若分成1．1．3的三组，有种分组方法，

若分成1．2．2的三组，有种分组方法，

则将5项工作分成3组，有种分组方法；

②．将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有种情况，

则有种不同的分组方法；

故选：B．

【点睛】

本题考查排列．组合的应用，注意分组时要进行分类讨论，属于中档题．

15．【答案】C

【解析】根据题意：分为两类：第一类，甲．乙．丙各自站在一个台阶上；第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，算出每类的站法数，然后再利用分类计数原理求解.

详解：因为甲．乙．丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，

所以分为两类：第一类，甲．乙．丙各自站在一个台阶上，共有：种站法；

第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，共有：种站法；

所以每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是.

故选：C

【点睛】

本题主要考查排列组合的应用以及分类计数原理的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.

16．【答案】D

【解析】由题意知这4位同学不同得分情况的种数分五类：①两人得30分，余下两人得﹣30分，②一人得30分，余下三人得﹣10分，③一人得﹣30分，余下三人得10分，④一人得30分，一人得﹣30分，一人得10分，一人得﹣10分，⑤两人得10分，余下两人得﹣10分，根据分类计数原理得到结果.

详解：由题意知这4位同学不同得分情况的种数分五类：

（1）两人得30分，余下两人得﹣30分，有C42=6种情况；

（2）一人得30分，余下三人得﹣10分，有4种情况；

（3）一人得﹣30分，余下三人得10分，有4种情况；

(4)一人得30分，一人得﹣30分，一人得10分，一人得﹣10分，有A43=24种情况；

(5)两人得10分，余下两人得﹣10分，有C42=6种情况.

根据分类计数原理得到共有6+4+4+24+6=44种情况.

故选：D.

【点睛】

本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同，本题中，要注意各种情况间的关系，避免重复？遗漏，属于基础题.

17．【答案】C

【解析】先不考虑甲．乙同班的情况，将4人分成三组有C 4 2 ＝6(种)方法，再将三组同学分配到三个班级有A 3 3 ＝6(种)分配方法，依据分步计数原理可得不同分配方法有种，应选答案C．

18．【答案】A

【解析】根据，先选出个数，其顺序固定，有种取法，再从剩余的个数中选个分配给，，，有种取法，由分步计数原理即可求解.

详解：先从个数中任意选出个，

最大的数为，最小的数为，另一个数为，

这样的选法有种，

同理，从剩余的个数中选个，有种选法，

由分步计数原理可知共有种选法.

故选：A

【点睛】

本题考查了排列．组合的应用，考查了分步乘法计数原理，属于基础题.