人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.1.3 组合与组合数当堂检测题

【精编】3.1.3 组合与组合数-3作业练习

一．单项选择

1．下列等式中，错误的是（   ）

A． B．

C． D．

2．已知m，，且，则（    ）

A． B． C． D．

3．5个人站成一排，甲．乙两人中间恰有一人的不同站法有（    ）.

A．288种 B．72种 C．36种 D．24种

4．从1，3，5，7，9中任取3个数宇，与0，2，4组成没有重复数字的六位数，其中偶数共有（    ）

A．312个 B．1560个 C．2160个 D．3120个

5．等于（    ）.

A． B． C． D．

6．在第二届乌镇互联网大会中, 为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在．．三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有（     ）

A．种 B．种

C．种 D．种

7．某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有(　　)

A．45种 B．56种 C．90种 D．120种

8．4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同．下列结论中正确的是（    ）

A．恰有四支球队并列第一名为不可能事件 B．有可能出现恰有三支球队并列第一名

C．恰有两支球队并列第一名的概率为 D．只有一支球队名列第一名的概率为

9．4名学生和3位老师排成一排合影，恰有两位老师相邻的不同排法有（    ）

A．240种 B．2880种 C．720种 D．960种

10．若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有（    ）

A．45种 B．40种 C．55种 D．60种

11．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲．乙等五名志愿者被分配到射击．田径．篮球．游泳四个运动场地提供服务，要求每个人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（    ）

A． B． C． D．

12．（    ）．

A． B． C． D．

13．某比赛共有9支球队参赛，其中有2支弱队，以抽签方式将这9支球队平均分为3组，2支弱队不在同一组的概率为（    ）．

A． B． C． D．

14．某教育局安排名骨干教师分别到所农村学校支教，若每所学校至少安排名教师，且每名教师只能去所学校，则不同安排方案有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

15．4位同学各自在周六．周日两天中等可能的任选一天参加公益活动，则周六．周日都有同学参加公益活动的概率（ ）

A． B． C． D．

16．现有6个人分乘两辆不同的出租车，已知每辆车最多能乘坐4个人，则不同的乘车方案种数为（    ）

A．30 B．45 C．50 D．60

17． （    ）

A． B． C． D．

18．从6名女生．4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（    ）

A． B． C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】C

【解析】分析：计算每一选项的左右两边，检查它们是否相等.

详解：通过计算得到选项A,B,D的左右两边都是相等的.

对于选项C,,所以选项C是错误的.故答案为C.

点睛：本题主要考查排列组合数的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本计算能力.

2．【答案】ABC

【解析】根据组合数公式和组合数的性质，依次判断选项.

详解：由组合数性质，故A正确；

由组合数和排列数公式的关系可知，故B正确；

，故C正确；

，故D不正确.

故选：ABC

【点睛】

本题考查组合数公式，性质，重点考查组合数公式的变形，计算，属于基础题型.

3．【答案】C

【解析】根据题意，甲．乙两人中间恰有一人，把这三个人看做一个整体，利用“捆绑”法，再与其他的2个人进行排列.

详解：由题意，甲．乙两人中间恰有一人，把这三个人看做一个整体，则有种，

所以，5个人站成一排，且甲．乙两人中间恰有一人的站法有：种.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式．组合数公式的应用，相邻问题用“捆绑”法，属于基础题.

4．【答案】D

【解析】由题意将情况分为0放在末位．0不放在末位两种情况，结合分步乘法．排列组合的知识即可得解.

详解：从1，3，5，7，9中任取3个数宇，与0，2，4组成没有重复数字的六位偶数，可分为以下两种情况：

①．0放在末位，从1，3，5，7，9中任取3个数宇，再与2，4全排列即可，共有个；

②．0不放在末位，从1，3，5，7，9中任取3个数宇，再从2，4中选择一个作为末位数，从剩下的非首位中选择一个放置0，再将余下的数字全排列即可，共有个；

则满足要求的偶数共有个.

故选：D.

【点睛】

本题考查了计数原理的应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，关键是对情况合理分类．分步，属于中档题.

5．【答案】B

【解析】根据排列数的计算公式，即可得出结果.

详解：因为，

所以.

时

故选：B.

【点睛】

本题主要考查排列数的计算，熟记排列数的计算公式即可，属于基础题型.

6．【答案】D

【解析】根据题意，分2步进行分析：①把5个个参会国的人员分成三组，一种是按照1．1．3；另一种是1．2．2；由组合数公式可得分组的方法数目，②，将分好的三组对应三家酒店；由分步计数原理计算可得答案．

详解：根据题意，分2步进行分析：

①．五个参会国要在a．b．c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，

∴可以把5个国家人分成三组，一种是按照1．1．3；另一种是1．2．2

当按照1．1．3来分时共有C53=10种分组方法；

当按照1．2．2来分时共有 种分组方法；

则一共有 种分组方法；

②．将分好的三组对应三家酒店，有 种对应方法；

则安排方法共有 种；

故选D．

【点睛】

本题考查排列组合的应用，涉及分类．分步计数原理的应用，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决．

7．【答案】A

【解析】将人中既有男生又有女生分成两种情况：个男生个女生；个男生个女生.然后利用分步计数原理计算出两种情况的方法数，再相加求得总的选法数.

详解：人中既有男生又有女生分成两种情况：个男生个女生；个男生个女生.“个男生个女生”的方法数有. “个男生个女生”的方法数有.故总的方法数有种.所以本题选A.

【点睛】

本小题主要考查分类加法计数原理，考查分步乘法计数原理，属于基础题.对于比较复杂的计数问题，往往先通过分类的方法，将复杂的问题转化为几个较为简单的问题来计算.在计算每个简单的问题过程中，又是用分步计数原理来计算方法数.最后相加得到总的方法数.

8．【答案】ABD

【解析】4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；

选项A，这6场比赛中不满足4支球队得分相同的的情况；

选项B，举特例说明即可；

选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有种可能，再分类计数相互获胜的可能数，最后由古典概型计算概率；

选项D，只有一支球队名列第一名，则该球队应赢了其他三支球队，由古典概型问题计算即可.

详解：4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；

选项A，这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支或1支队伍获胜，那么所得分值不可能都一样，故是不可能事件，正确；

选项B，其中6场比赛中，依次获胜的可以是，此时3队都获得2分，并列第一名，正确；

选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有种可能，若选中a，b，其中第一类a赢b，有a,b,c,d,a,b和a,b,d,c,a,b两种情况，同理第二类b赢a，也有两种，故恰有两支球队并列第一名的概率为，错误；

选项D，从4支球队中选一支为第一名有4种可能；这一支球队比赛的3场应都赢，则另外3场的可能有种，故只有一支球队名列第一名的概率为，正确.

故选：ABD

【点睛】

本题考查利用计数原理解决实际问题的概率问题，还考查了事件成立与否的判定，属于较难题.

9．【答案】B

【解析】先将所有学生排列，然后将3位老师中2位捆绑一起，再与另一个老师插入到2个空中，根据分步乘法原理即可计算结果．

详解：将所有学生先排列，有种排法，

然后将3位老师中2位捆绑一起，有种方法，

再与另一个老师插入到2个空中，有种方法，

共有种排法，

故选：B

【点睛】

本题考查排列组合的综合应用，考查分步乘法原理，考查捆绑法，插空法来解决问题，考查了学生逻辑推理和运算求解能力.

10．【答案】A

【解析】先选出站在自己原来的位置的人种选法，然后剩下的4人都不站自己原来的位置，得出答案.

详解：先从5个人中选出站在自己原来的位置的有种选法

设剩下的4个人为.则他们都不站自己原来的位置，分下列几步完成:

 (1)假设先安排，则有种选法.

(2)当站好后，站的位置原来站的是谁，接下来就安排这个人来选位置，有种选法.

(3)接下来，剩下的两个人和两个位置中,至少有1人，他原来站的位置留下来了，都不站原来的位置，则只有1种站法.

所以共有种选法.

故选：A

【点睛】

本题考查排列．组合及简单的计数问题，注意分析满足“恰有1个人站在自己原来的位置”的要求，属于中档题.

11．【答案】A

【解析】根据题意，五人分成四组，先求出两人组成一组的所有可能的分组种数，再将甲乙组成一组的情况，即可求出概率.

详解：五人分成四组，先选出两人组成一组，剩下的人各自成一组，

所有可能的分组共有种，

甲和乙分在同一组，则其余三人各自成一组，只有一种分法，与场地无关，

故甲和乙恰好在同一组的概率是.

故选：A.

【点睛】

本题考查组合的应用和概率的计算，属于基础题.

12．【答案】B

【解析】利用组合数的性质：即可求解.

详解：因为，

所以

．

故选：B

【点睛】

本题考查了组合数的运算性质，需熟记性质，属于基础题.

13．【答案】A

【解析】首先将9支球队平均分为3组，然后再求出2支弱队不在同一组的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.

详解：将这9支球队分为3组，则一共有种情况，

2支弱队不在同一组，则有种情况，

故所求概率为．

故选：A

【点睛】

本题考查了平均分组问题．古典概型的概率计算公式，属于基础题.

14．【答案】C

【解析】首先从名骨干教师任取名，分成三组，然后三组全排即可求解.

详解：由题意，先从名骨干教师任取名共有种取法，

所以不同安排方案有：.

故选：C

【点睛】

本题考查了排列组合的应用，考查了组合数．排列数的计算，属于基础题.

15．【答案】D

【解析】由已知，4位同学各自在周六．周日两天中任选一天参加公益活动共有种不同的结果，而周六．周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：（1）一天一人，另一天三人，有种不同的结果；（2）周六．日各2人，有种不同的结果，故周六．周日都有同学参加公益活动有种不同的结果，所以周六．周日都有同学参加公益活动的概率为，选D．

考点：1.排列和组合；2.古典概型的概率计算公式．

16．【答案】C

【解析】由题意将满足要求的情况分为“其中2人乘坐一辆汽车，另外4人乘坐一辆汽车”．“其中3人乘坐一辆汽车，另外3人乘坐一辆汽车”两种情况，再由排列．组合的知识即可得解.

详解：有6个人分乘两辆不同的出租车，每辆车最多能乘坐4个人，可分为两种情况：

①其中2人乘坐一辆汽车，另外4人乘坐一辆汽车，共有种情况；

②其中3人乘坐一辆汽车，另外3人乘坐一辆汽车，共有种情况；

所以不同的乘车方案种数为.

故选：C.

【点睛】

本题考查了计数原理的应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，合理分类，利用排列．组合的知识求解是解答的关键，属于中档题.

17．【答案】B

【解析】利用组合数性质化简．

详解：．

故选：B．

【点睛】

本题考查组合数的性质，掌握组合数性质是解题基础，其中变形是关键．

18．【答案】D

【解析】利用分层抽样的特点得到男女生应该抽取的人数后，再根据分步计数原理可得结果.

详解：根据分层抽样的特点可知，女生抽3人，男生抽2人，

所以不同的抽取方法种数为.

故选：D.

【点睛】

本题考查了分层抽样，考查了分步计数原理，属于基础题.