人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.1.3 组合与组合数课后复习题

【名师】3.1.3 组合与组合数-2作业练习

一．单项选择

1．现有4名男生，6名女生共10名学生，若从男生中选出2名，女生中选出4名排成一排，其中这两名男生相邻的排法共有（    ）

A． B． C． D．

2．某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法（     ）

A． B． C． D．

3．某市抽调两个县各四名医生组成两个医疗队分别去两个乡镇开展医疗工作，每队不超过五个人，同一个县的医生不能全在同一个队，且同县的张医生和李医生必须在同一个队，则不同的安排方案有（    ）

A．36种 B．48种 C．68种 D．84种

4．一个五位的自然数称为“凸”数，当且仅当它满足，（如12430，13531等）.则在所有五位数中“凸”数的个数是（    ）.

A．8568 B．2142

C．2139 D．1134

5．设集合，选择的两个非空子集与，要使中最小数大于中最大的数，则不同选择方法有（    ）

A．50种 B．49种 C．48种 D．40种

6．若，则（    ）

A．5 B．7 C．6 D．4

7．求的值为（    ）

A．0 B．1 C．360 D．120

8．某校开设类选修课3门，类选修课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中至少各选一门，则不同的选法共有（    ）

A．30种 B．35种 C．42种 D．60种

9．要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（    ）

A．2种 B．3种 C．6种 D．8种

10．某市政府决定派遣名干部（男女）分成两个小组，到该市甲．乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（   ）种

A． B． C． D．

11．甲．乙．丙．丁4名学生参加体育锻炼，每人在A，B，C三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选A项．乙不选B项的概率为（    ）

A． B． C． D．

12．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（  ）

A．48 B．60 C．72 D．120

13．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（   ）

A．10 种 B．20 种 C．36 种 D．52 种

14．已知有，，，支篮球队举行单循环赛（单循环赛：所有参赛队均能相遇一次），那么比赛的场次数是（    ）

A．15 B．18 C．24 D．30

15．甲乙和其他2名同学合影留念，站成两排两列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这4名同学的站队方法有（    ）

A．8种 B．16种 C．32种 D．64种

16．某台小型晚会由个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位．节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

17．若6把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为（    ）

A． B． C． D．

18．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如，在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是（    ）

A． B． C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】D

【解析】采用捆绑法和插空法．先求选出2名男生和4名女生的选法，再把2个男生排列后看成一个整体插到4个女生排列后形成的5个空中，最后相乘即可.

详解：解：从4名男生中选出2名男生有种，从6名女生中选出4名女生有种，则总共有种选法．由题知，现在把这两个男生捆在一起，看成一个男生有种，然后将4个女生随意排的方法数是，最后在这4个女生形成的5个空隙中插入1个男生，方法数是．由分步计数原理得，不同的排法共有种．

故选：D．

【点睛】

考查捆绑法．插空法以及分步计数原理解决实际问题，基础题.

2．【答案】C

【解析】利用间接法求解．从六科中选考三科的选法有，其中包括了没选物理．化学．生物中任意一科与没选政治．历史．地理中任意一科，这两种选法均有，因此考生共有多少种选考方法有种．

3．【答案】C

【解析】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，对甲乡镇派遣的医生人数进行分类讨论，并计算出每种情况下的安排方案种数，利用分类加法计数原理可得结果.

详解：设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，

若甲乡镇派遣三名医生，则共有种方案；

若甲乡镇派遣四名医生，则共有种方案；

若甲乡镇派遣五名医生，则共有种方案．

综上可得，不同的派遣方案有种．

故选：C.

【点睛】

本题考查人员的分配问题，考查分类讨论基本思想的应用，考查计算能力，属于中等题.

4．【答案】B

【解析】详解：按分成7类，共有

个.

5．【答案】B

【解析】根据题意，与中元素不能相同，由与中元素个数组成，分类讨论即可求得不同选择方法的数量；也可以选出若干元素后，从小到大排序，然后利用“插空法”得与.

详解：由题意可知，与中元素不能相同，且都不为空集.

若集合中分别有一个元素，则共有种选法；

若集合中有一个元素，集合中有两个元素，则选法种数有种；

若集合中有一个元素，集合中有三个元素，则选法种数有种；

若集合中有一个元素，集合中有四个元素，则选法种数有种；

若集合中有两个元素，集合中有一个元素，则选法种数有种；

若集合中有两个元素，集合中有两个元素，则选法种数有种；

若集合中有两个元素，集合中有三个元素，则选法种数有种；

若集合中有三个元素，集合中有一个元素，则选法种数有种；

若集合中有三个元素，集合中有两个元素，则选法种数有种；

若集合中有四个元素，集合中有一个元素，则选法种数有种，

综上所述，总计有49种选法，

解法二：由题意可知集合，中没有相同的元素，且都不是空集，选出若干元素后，从小到大排序，然后利用“插空法”分为前后两组，分别为．

从5个元素中选出2个元素，有种选法，共有种方法；

从5个元素中选出3个元素，有种选法，共有种方法；

从5个元素中选出4个元素，有种选法，共有种方法；

从5个元素中选出5个元素，有种选法，共有种方法，

总计为种方法，

故选：B．

【点睛】

本题考查了组合问题的应用，分类讨论时要注意题干要求，做到“不重不漏”，属于中档题.

6．【答案】A

【解析】利用排列与组合数公式，进行化简计算即可．

详解：∵，

∴，

化简得，

解得．

故选：A．

【点睛】

本题考查了排列与组合的计算与化简问题，是基础题．

7．【答案】A

【解析】直接由组合数的公式计算可得答案.

详解：

故选：A

【点睛】

本题考查组合数的公式的应用，属于基础题.

8．【答案】A

【解析】根据题意，该同学所选课程共分两类：1门类选修课，2门类选修课；2门类选修课，1门类选修课；分别求出其对应的选法，再求和，即可得出结果.

详解：由题意，该同学所选课程共分两类：

①1门类选修课，2门类选修课；共有种选法；

②2门类选修课，1门类选修课；共有种选法；

综上，不同的选法共有：种.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查分类加法计数原理的应用，属于基础题型.

9．【答案】C

【解析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.

详解：第一步，将3名学生分成两个组，有种分法

第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法

所以，不同的安排方法共有种

故选：C

【点睛】

解答本类问题时一般采取先组后排的策略.

10．【答案】C

【解析】在所有两组至少都是人的分组中减去名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得出结果.

详解：两组至少都是人，则分组中两组的人数分别为．或．，

又因为名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为.

故选：C.

【点睛】

本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题.

11．【答案】B

【解析】法一：根据题意，先求出总的选择方式有多少种，再求甲不选A项．乙不选B项有多少种，代入公式求解即可；

法二：只分析甲乙，总可能性有三种，满足题意各有两种，根据乘法原理即可求解.

详解：法一：每位学生选择三个锻炼项目有种，则4人总的选择方式共有种；其中甲．乙的选择方式有种，其余两人仍有种，故甲不选A．乙不选B项目的概率为.

法二：只考虑甲．乙的选择，不加限制均为3种，受到限制后均为2种，而甲乙的选择相互独立，故甲不选A．乙不选B项目的概率为.

【点睛】

本小题主要考查分类加法原理和分步乘法原理．概率等基础知识；考查应用意识．创新意识；考查分类与整合等思想方法，属基础题.

12．【答案】A

【解析】对数字分类讨论，结合数字中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论

详解：数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，

共有个

数字出现在第位时，同理也有个

数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，

共有个

故满足条件的不同的五位数的个数是个

故选：

【点睛】

本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字分类讨论，属于基础题．

13．【答案】A

【解析】根据题意，可得1号盒子至少放一个，最多放2个小球，即分两种情况讨论，分别求出其不同的放球方法数目，相加可得答案．

详解：由题意得，把个颜色不相同的球分为两类：

一类是：一组1个，一组3个，共有种，按要求放置在两个盒子中，共有种不同的放法；

另一类：两组各两个小球，共有种不同的放法，按要求放置在两个盒子中，共有种.

所以共有种不同的放法.

故选：A.

14．【答案】A

【解析】结合“单循环赛”的含义，每两支队之间有一场比赛，计算需要比赛的场数.

详解：解：从这6支队伍中选两队即可得到比赛的场次，故有种.

故选：.

【点睛】

本题考查组合的应用，注意理解“单循环赛”的含义，属于基础题.

15．【答案】A

【解析】根据题意，分3步进行讨论：先在4个位置中任选一个安排甲，再安排乙，最后将剩余的2个人，安排在其余的2个位置，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.

详解：根据题意，分3步进行讨论：

16．【答案】B

【解析】固定节目甲．丙的位置，将节目乙放在第二．三．五个位置中的任何一个位置，其他节目任意排列，利用分步计数原理可得出结果.

详解：由于节目甲必须排在第四位．节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，

则节目乙可放在第二．三．五个位置中的任何一个位置，其他节目任意排列，

由分步计数原理可知，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有种，故选B.

【点睛】

本题考查分步乘法计数原理，在求解排列组合综合问题时，若元素限制条件较多，可优先考虑该元素，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

17．【答案】A

【解析】从中任取2把，基本事件总数，从中任取2把能将该锁打开包含的基本事件个数，由此能求出从中任取2把能将该锁打开的概率．

详解：解：6把不同的钥匙中只有2把能打开某锁，

从中任取2把，基本事件总数，

从中任取2把能将该锁打开包含的基本事件个数，

从中任取2把能将该锁打开的概率．

故选：A．

【点睛】

本题考查概率的求法，考古典概型．排列组合等基础知识，考查运算求解能力．推理论证能力，考查函数与方程思想，属于基础题．

18．【答案】C

【解析】随机选取两个不同的数，基本事件总数，利用列举法能求出其和等于18包含的基本事件有2个，然后按古典概型计算后即可做出判定.

详解：解：在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，

随机选取两个不同的数，

基本事件总数，

其和等于18包含的基本事件有：，，共2个，

其和等于18的概率是.

故选：C.

【点睛】

本题考查概率的求法，涉及古典概型的计算，组合数的应用，考查运算能力，是基础题.