人教B版 (2019)选择性必修 第二册第三章 排列、组合与二项式定理3.3 二项式定理与杨辉三角复习练习题

【名师】3.3 二项式定理与杨辉三角-1作业练习

一．单项选择

1．已知是数列的前n项和，若，数列的首项，则（    ）

A． B． C．2021 D．

2．二项式展开式中存在常数项的一个条件是（    ）

A．n=5 B．n=6 C．n=7 D．n=9

3．若的展开式中的系数之和为，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．1

4．的展开式中，含项的系数是（    ）

A． B． C． D．

5．在（x-2y）（x＋y）4的展开式中，x2y3的系数是（    ）

A．8 B．10 C．-8 D．-10

6．已知展开式中，所有项的二项式系数的和为32，则其展开式中的常数项为（    ）

A．60 B． C．80 D．

7．展开式中含的项是（    ）

A．第8项 B．第7项 C．第6项 D．第5项

8．已知，则等于（    ）

A． B． C． D．1

9．已知，则（    ）

A．10 B．80 C．40 D．120

10．展开式中的常数项为（    ）

A．11 B．19 C．23 D．

11．在的二项展开式中，若仅第四项的二项式系数最大，则（    ）

A．9 B．8 C．7 D．6

12．的展开式中的系数为（     ）

A． B． C．64 D．-128

13．已知，则的值为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

14．的展开式中项的系数为（    ）

A．160 B．80 C． D．

15．若,则

A．－70 B．28 C．－26 D．40

16．若，则（    ）

A． B． C． D．

17．在的二项展开式中，二项式系数的和为（    ）

A．8 B．16 C．27 D．81

18．设，其中．，则（    ）

A． B． C．2 D．以上都不对

参考答案与试题解析

1．【答案】A

【解析】分析：通过对二项展开式赋值求解出的值，然后通过所给的条件变形得到为等差数列，从而求解出的通项公式，即可求解出的值.

详解：令，得.

又因为，所以.

由，得，所以，

所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，

所以，所以.

故选：A.

【点睛】

本题考查二项展开式与数列的综合运用，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.解答问题时注意的运用.

2．【答案】B

【解析】分析：根据二项展开式的通项公式可知有解，排除，可得答案.

详解：二项式展开式的通项为，

，

要使展开式中存在常数，只需有解，因为，所以为偶数，故不正确.当时，，二项式展开式中第项为常数项.

故选：B

【点睛】

关键点点睛：根据二项展开式的通项公式得有解是解题关键.

3．【答案】B

【解析】分析：由，进而分别求出展开式中的系数及展开式中的系数，令二者之和等于，可求出实数的值.

详解：由，

则展开式中的系数为，展开式中的系数为，

二者的系数之和为，得.

故选：B.

【点睛】

本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

4．【答案】D

【解析】分析：利用二项式定理求得中项的系数，进而可求得的展开式中含项的系数.

详解：当且，的展开式通项为，

所以，的展开式中含的系数为，

的展开式中，含项的系数是.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用二项式定理求指定项的系数，考查计算能力，属于基础题.

5．【答案】C

【解析】分析：依题意将原式变形为，再写出的通项，计算可得；

详解：解：，的展开式的通项是，令，则，则的展开式中的系数为，令，则，则的展开式中的系数为，故展开式中的系数是，

故选：C.

6．【答案】C

【解析】分析：由二项式系数的和为32，求得，得出展开式的通项，求得，代入即可求解.

详解：由题意，二项式展开式中，所有项的二项式系数的和为32，

可得，解得，

所以展开式的通项公式为，

令，解得，所以展开式中的常数项为.

故选：C.

7．【答案】C

【解析】分析：根据二项展开式的通项公式，求得含项对应的r即可得到结论.

详解：解：展开式的通项公式为：；

令；

故展开式中含的项是第6项.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

8．【答案】B

【解析】分析：求出二项展开式的通项可知当r为奇数时，，当r为偶数时，，然后进行绝对值计算，赋值法令代入所给等式即可得解.

详解：二项式展开式的通项，当r为奇数时，，当r为偶数时，，因此，，

令，则.

故选：B

【点睛】

本题考查二项式定理．赋值法求二项展开式系数的和，属于基础题.

9．【答案】C

【解析】分析：由，利用二项式展开式的通项即可求解.

详解：，通项，

故当时，，所以.

故选：C.

【点睛】

本题考查了二项式的展开式，熟记展开式是解题的关键，属于基础题.

10．【答案】C

【解析】分析：把按照二项式定理展开，可得展开式中的常数项．

详解：，

展开式中的常数为，

故选：C．

11．【答案】D

【解析】分析：直接利用二项展开式中，二项式系数的单调性判断即可.

详解：因为在的二项展开式中，仅第四项的二项式系数最大，

所以最大，

因为展开式中中间项的二项式系数最大，

所以展开式工有7项，，

故选：D

【点睛】

本题主要考查二项式系数的最值，属于基础题.当n为偶数时,中间一项的二项式系最大；当n为奇数时,中间两项的二项式系最大.

12．【答案】D

【解析】分析：先求得展开式的通项公式，再令x的次数为3求解.

详解：展开式的通项公式为，

令，则，

所以的展开式中的系数为.

故选：D

13．【答案】B

【解析】分析：根据二项展开式的性质，将原式化为，即可求出结果.

详解：由得

则，即，

解得.

故选：B.

14．【答案】C

【解析】分析：求出的展开式中的系数和的系数即可得到的展开式中项的系数

详解：解：，

其展开式的通项为，

令，则，此时的展开式中的系数为，

令，则，此时的展开式中的系数为

所以的展开式中项的系数为

故选：C.

【点睛】

此题考查二项式定理的应用，考查数学转化思想和计算能力，属于基础题

15．【答案】C

【解析】分析：令t＝x﹣3，把等式化为关于t的展开式，再求展开式中t3的系数．

详解：令t＝x﹣3，则（x﹣2）5﹣3x4＝a0+a1（x﹣3）+a2（x﹣3）2+a3（x﹣3）3+a4（x﹣3）4+a5（x﹣3）5，

可化为（t+1）5﹣3（t+3）4＝a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5，

则a3＝＝10﹣36＝﹣26.

故选C．

【点睛】

本题主要考查了二项式定理的应用，指定项的系数，属于基础题．

16．【答案】D

【解析】分析：利用二项式定理可知．．．为负数，．．．．为正数，可得出，然后令可求得所求代数式的值.

详解：二项式的展开式通项为，

所以，的奇数次幂的系数均为负数，偶数次幂的系数均为正数，

即．．．为负数，．．．．为正数，

所以.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用赋值法求解各项系数绝对值之和，要结合二项式定理确定各项系数的正负，考查计算能力，属于中等题.

17．【答案】B

【解析】分析：由二项式展开式，令即可求二项式系数的和的值.

详解：，

∴令，即有二项式系数的和：.

故选：B

18．【答案】A

【解析】分析：由题意可得，可求得．的表达式，然后利用极限的运算性质可求得的值.

详解：当为偶数时，，

则，

，

；

同理可知，当为奇数时，.

由，可得，

因此，

.

故选：A.

【点睛】

本题考查利用二项式定理计算极限值，解题的关键就是计算出和的表达式，考查计算能力，属于中等题.