专题05 分式方程(精讲精练）-中考数学复习核心考点精讲与分层训练（附思维导图，全国通用版）

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分式方程的基本概念
解分式方程
分式方程的增根
列表法解决分式方程的应用
★简单； ★★易错； ★★★中等； ★★★★难； ★★★★★压轴
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc31229" 考点1：解分式方程 PAGEREF _Tc31229 \h 2
\l "_Tc28350" 考点2：分式方程的根 PAGEREF _Tc28350 \h 10
\l "_Tc508" 考点3：分式方程的应用 PAGEREF _Tc508 \h 15
\l "_Tc2226" 课堂总结：思维导图 PAGEREF _Tc2226 \h 27
\l "_Tc13427" 分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc13427 \h 27
考点1：解分式方程
①分式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
②解方式方程的解法步骤
（1）去分母，将分式方程化为整式方程；
（2）解所得的整式方程；
（3）检验：把所求得的x的值代入最简公分母中，若最简公分母为0，则应舍去．

｛分式方程的定义★｝下列关于的方程，是分式方程的是
A．B．C．D．
｛解分式方程★｝如图是小明同学解方程的过程．
针对以上解题过程，下列说法正确的是
A．从第一步开始有错B．从第二步开始有错
C．从第三步开始有错D．完全正确
｛新定义-解分式方程★｝对于实数，，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是
A．B．C．D．
｛解分式方程★｝解分式方程：
（1）；（2）．
｛分式方程定义★｝已知方程：①；②；③；
④．这四个方程中，分式方程的个数是
A．1B．2C．3D．4
｛解分式方程★｝解分式方程时，去分母后得到的整式方程是
A．B．
C．D．
｛解分式方程★｝解下列分式方程：
（1）；（2）．
｛解分式方程★｝解方程
（1）；（2）．
（2021•陕西）解方程：．
（2020•大庆）解方程：．
（2020•郴州）解方程：．
考点2：分式方程的根
①依据分式方程的增根确定字母参数的方法
将分式方程化为整式方程
用含有字母参数的代数式表示x
（3）根据情况确定值
②依据分式方程的增根确定字母参数的方法
先将分式方程转化为整式方程
由题意求出增根
（3）将增根代入所化得的整式方程，解出字母
｛分式方程的根★｝已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是 ．
｛分式方程的根★｝（2021•达州）若分式方程的解为整数，则整数 ．
｛分式方程的根★｝若关于的方程有增根，那么 ．
｛分式方程的根★｝关于的方程的解是非负数，则的取值范围是 ．
｛分式方程的根★｝若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为 ．


（2021•重庆）关于的分式方程的解为正数，且使关于的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数的值之和是
A．B．C．D．
（2020•广元）按照如图所示的流程，若输出的，则输入的为
A．3B．1C．0D．
（2021•齐齐哈尔）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ．
（2020•潍坊）若关于的分式方程有增根，则 ．
考点3：分式方程的应用
①列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审题；(2)设未知数；(3) 列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验： (6)作答．
在检验这一步中，既要检验所求未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验所求未知数的值是不是符合题目的实际意义.
②常用公式
（1）数量问题；
（2）销售问题（利润=售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；
（3）工程问题
①工作量=人均效率×人数×时间；
②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量
（4）行程问题（路程=速度×时间）；

某工程队在某街道改造一条长6000米的人行步道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“”，设实际每天改造人行步道米，则可得方程，根据已有信息，题中用“”表示的缺失的条件应补为
A．每天比原计划多铺设18米，结果提前25天完成B．每天比原计划多铺设18米，结果延期25天完成
C．每天比原计划少铺设18米，结果延期25天完成D．每天比原计划少铺设18米，结果提前25天完成
某班级为做好疫情防控，班委会决定拿出班费中的200元给同学们购买口罩，由于药店对学生购买口罩每包优惠2元，结果比原计划多买了5包口罩．设原计划购买包口罩，则依题意列方程为
A．B．C．D．
在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树万棵，由题意得到的方程是
A．B．
C．D．
（2021•梧州）某工厂急需生产一批健身器械共500台，送往销售点出售．当生产150台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4倍，一共用8天刚好完成任务．
（1）原来每天生产健身器械多少台？
（2）运输公司大货车数量不足10辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输．已知每辆大货车一次可以运输健身器械50台，每辆车需要费用1500元；每辆小货车一次可以运输健身器械20台，每辆车需要费用800元．在运输总费用不多于16000元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，最低运输费用是多少？
（2021秋•娄底期中）“六一”儿童节前夕，某文具店用4000元购进种滑板车若干台，用8400元购进种滑板车若干台，所购种滑板车比种滑板车多10台，且种滑板车每台进价是种滑板车每台进价的1.4倍．
（1）、两种滑板车每台进价分别为多少元？
（2）第一次所购滑板车全部售完后，第二次购进、两种滑板车共100台（进价不变），种滑板车的售价是每台300元，种滑板车的售价是每台400元．两种滑板车各售出一半后，六一假期已过，两种滑板车均打七折销售，全部售出后，第二次所购滑板车的利润为5800元（不考虑其他因素），求第二次购进、两种滑板车各多少台？
在某核酸检测任务中，甲医疗队比乙医疗队每小时多检测15人，甲队检测600人所用的时间比乙队检测500人所用的时间少．设甲队每小时检测人，根据题意，可列方程为
A．B．
C．D．
为降低成本，某出租车公司推出了“油改气”措施，如图，，分别表示燃油汽车和燃气汽车行驶路程（单位：千米）与所需费用（单位：元）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需费用2倍多0.2元，设燃气汽车每千米所需费用为元，则可列方程为
A．B．C．D．
山西交城骏枣是山西四大名枣之一，誉为“枣后”，素有“八个一尺，十个一斤”之称，畅销山西乃至全国各地．甲、乙两辆运输车将骏枣运往距离180千米的地，已知乙车的速度是甲车的速度的1.5倍，甲车比乙车早出发0.5小时，结果甲车比乙车晚到0.5小时．求甲、乙两车的速度分别是多少？设甲车的速度是千米时，则根据题意列方程为
A．B．
C．D．
某防护用品厂计划生产240000个口罩，但在实际生产时，？．求实际每天生产口罩的个数．在这个问题中，若设实际每天生产口罩个，由题意可列出的方程为，则问题中用“？”所表示的条件应该是
A．每天比原计划多生产200个，结果延期10天完成
B．每天比原计划少生产200个，结果提前10天完成
C．每天比原计划少生产200个，结果延期10天完成
D．每天比原计划多生产200个，结果提前10天完成
某销售商准备采购一批丝绸，经过调查得知，用10000元采购型丝绸的件数与用8000元采购型丝绸的件数相等，且一件型丝绸的进价比一件型丝绸的进价多100元．
（1）一件型、型丝绸的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进型、型丝绸共50件，其中型丝绸的件数不多于型丝绸的件数，且不少于16件，设购进型丝绸件．
①求的取值范围；
②已知型丝绸的售价为800元件，型丝绸的售价为600元件，求销售这批丝绸的最大利润．
某商店计划今年的圣诞节购进、两种纪念品若干件．若花费480元购进的种纪念品的数量是花费480元购进种纪念品的数量的，已知每件种纪念品比每件种纪念品多4元．
（1）求一件种纪念品、一件种纪念品的进价各是多少元？
（2）老板花费480元购进种纪念品后，以每个20元的价格销售种纪念品，当种纪念品售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使种纪念品的销售利润不低于224元，剩余的种纪念品每个售价至少要多少元？


（2021•淄博）甲、乙两人沿着总长度为的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为，则下列方程中正确的是
A．B．
C．D．
（2020•福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是
A．B．C．D．
（2021•鞍山）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为元，则符合题意的方程是 ．
（2021•阜新）为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．
（1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？
（2）已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？
课堂总结：思维导图
分层训练：课堂知识巩固
1．（2021秋•青龙县期末）某农场开挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖米，那么求时所列方程正确的是
A．B．
C．D．
2．（2022•广西）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程
A．B．
C．D．
3．（2022•大同二模）为了美化小区环境，某小区物业公司计划对辖区内600平方米的土地进行绿化，为了尽快完成任务，实际平均每天的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前10天完成任务，求原计划平均每天的绿化面积．小宁同学所列的方程为，则小宁同学应如何假设
A．设原计划平均每天的绿化面积为平方米
B．设实际平均每天的绿化面积为平方米
C．设原计划完成任务需要天
D．设实际完成任务需要天
4．（2022•天心区校级三模）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”引爆购买潮，导致“一墩难求”．某工厂承接了60万只冰墩墩的生产任务，实际每天的生产效率比原计划提高了，提前10天完成任务．设原计划每天生产万只冰墩墩，则下面所列方程正确的是
A．B．
C．D．
5．（2022•迁安市二模）有一道题：“甲队修路与乙队修路所用天数相同，若▄，求甲队每天修路多少米？”根据图中的解题过程，被遮住的条件是
A．甲队每天修路比乙队2倍还多
B．甲队每天修路比乙队2倍还少
C．乙队每天修路比甲队2倍还多
D．乙队每天修路比甲队2倍还少
6．（2022•昭阳区一模）某优秀毕业生向我校赠送1080本课外书，现用、两种不同型号的纸箱包装运送，单独使用型纸箱比单独使用型纸箱可少用6个；已知每个型纸箱比每个型纸箱可多装15本．若设每个型纸箱可以装书本，则根据题意列得方程为
A．B．
C．D．
7．（2021秋•鱼台县期末）下列方程中不是分式方程的是
A．B．C．D．
8．（2021秋•如皋市期末）已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围为
A．且B．C．且D．且
9．（2022春•溧阳市期末）关于的方程的解是正数，则的取值范围是
A．B．且C．D．且
10．（2022•惠阳区一模）对于实数，，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是
A．B．C．D．
11．（2022春•枣庄期末）已知关于的方程的解是负数，那么的取值范围是
A．且B．C．且D．且
12．（2021秋•武城县期末）我市防汛办为解决台风季排涝问题，准备在一定时间内铺设一条长4000米的排水管道，实际施工时，．求原计划每天铺设管道多少米？题目中部分条件被墨汁污染，小明查看了参考答案为：“设原计划每天铺设管道米，则可得方程，”根据答案，题中被墨汁污染条件应补为
A．每天比原计划多铺设10米，结果延期20天完成
B．每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成
C．每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成
D．每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成
1．（2022秋•沙坪坝区校级月考）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非正整数解，则符合条件的所有整数的和为
A．B．C．1D．
2．（2022秋•沙坪坝区校级期中）若数使关于的分式方程的解为非负数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为
A．15B．12C．11D．10
3．（2022秋•渝中区校级月考）若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是
A．12B．14C．19D．21
4．（2022秋•任城区校级期中）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为
A．B．且C．D．且
5．（2022春•开江县期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是非负整数．则所有满足条件的整数之和是
A．10B．19C．16D．8
6．（2022春•滁州期末）对于两个不相等的实数，，我们规定符号，表示，中较小的值，如，．按照这个规定，方程的解为
A．4B．2C．4或2D．无解
7．（2022春•渝北区期末）关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为
A．6B．9C．10D．13
1．（2022秋•港北区期中）甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如表：
若乙单独完成这项工作，则需要（ ）
A．9天B．10天C．12天D．24天
2．（2021秋•苍溪县期末）中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车，达到世界先进水平，安全、舒适、快速是它的显著优点．从广元站到重庆北站的距离是353千米，乘坐“复兴号”动车组列车将比乘坐普通快车节省1小时40分钟．已知“复兴号”动车组的平均速度比普通快车速度快80千米时，设“复兴号”动车组的平均速度为千米时，根据题意列方程正确的是
A．B．
C．D．
3．（2022秋•晋州市期中）学校需采购部分课桌，现有，两个商家供货，商家每张课桌的售价比商家的优惠30元．若该校花费1800元采购款在商家购买课桌的数量与花费2250元采购款在商家购买课桌的数量一样多，则商家每张课桌的售价为
A．90元B．120元C．150元D．180元
4．（2022秋•沙坪坝区校级期中）若数使关于的分式方程的解为非负数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为
A．15B．12C．11D．10
5．（2022秋•渝中区校级月考）若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是
A．12B．14C．19D．21
6．（2022春•柯桥区期末）设，为实数，定义如下一种新运算：☆，若关于的方程☆☆无解，则的值是
A．4B．C．4或D．4或3
7．（2021•银川模拟）甲、乙两人分别从、两地同时相向匀速前进，在距点700米处第一次相遇，然后继续前进，甲到地、乙到地后都立即返回，第二次相遇在距点400米处，则、两地间的距离是 米．
8．（2021•南平模拟）为了估计湖里有多少条鱼，有如下方案：从湖里捕上100条鱼做上标记，然后放回湖里，经过一段时间，待带标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕上200条，若其中带有标记的鱼有10条，那么估计湖里大约有 条鱼．
9．（2019春•西湖区校级月考）有下列说法：①不论取何实数，多项式总能分解能两个一次因式积的形式；②关于的分式方程无解，则：③关于、的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为，其中正确的是 ．（填序号）
10．（2021•邗江区二模）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？天数
第3天
第5天
工作进度