人教版 (2019)选择性必修 第二册3 带电粒子在匀强磁场中的运动精品课时练习

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第一章 安培力与洛伦兹力
课时1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动


1. 理解带电粒子在B与v垂直时做匀速圆周运动。
2. 会推导带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动的半径和周期。
3. 掌握带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题的解题方法。
4. 会分析带电粒子在组合场和复合场中的运动。


1．洛伦兹力的特点
(1)洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说，洛伦兹力对带电粒子不做功。
(2)洛伦兹力方向总与速度方向垂直，正好起到了向心力的作用。

2．带电粒子在匀强磁场中的运动
(1)运动特点：沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动。
(2)半径和周期公式
质量为m、带电荷量为q、速率为v的带电粒子，在磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。
①半径：由qvB＝m得r＝。
②周期：由T＝得T＝。
由此可知带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期跟速率v和半径r无关。


基础过关练
题组一　定性处理半径、周期、时间的关系
1.(多选)两个质量和电荷量均相同的带电粒子a、b，分别以速度v和2v垂直射入同一匀强磁场，其运动半径分别为ra和rb，运动的周期分别为Ta和Tb。不计粒子重力，则 (　　)
A.ra>rb B.raTb D.Ta=Tb

2.如图所示，带电粒子(不计重力)以速度v沿垂直于磁场的方向进入一匀强磁场，在磁场中做匀速圆周运动。设粒子做匀速圆周运动的轨迹半径为R，周期为T。如果仅增大粒子的入射速度v，下列说法正确的是 (　　)

A.R增大 B.R减小 C.T增大 D.T减小

题组二　定量计算半径、周期、时间
3.(多选)一个带电粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动。如果该粒子又垂直进入另一磁感应强度为2B的匀强磁场，则 (　　)
A.粒子的速率加倍，周期减半
B.粒子的速率不变，周期减半
C.粒子的速率不变，轨迹半径减半
D.粒子的速率减半，轨迹半径变为原来的14
4.质子和α粒子以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，轨迹半径分别为R1和R2，周期分别为T1和T2，则下列选项正确的是 (　　)
A.R1∶R2=1∶2　T1∶T2=1∶2
B.R1∶R2=1∶1　T1∶T2=1∶1
C.R1∶R2=1∶1　T1∶T2=1∶2
D.R1∶R2=1∶2　T1∶T2=1∶1

5.如图所示，虚线上方为匀强磁场区，A、B、C为虚线上三点，且AB=BC。两个带负电的粒子P、Q(重力不计)分别从A、B两点以相同的速度沿垂直于磁场的方向射入磁场区，最终两粒子都从C点离开磁场。设P、Q两粒子在磁场中运动的时间之比为m，P、Q两粒子的比荷之比为k，则 (　　)

A.m=1∶2，k=2∶1 B.m=1∶2，k=1∶2
C.m=2∶1，k=2∶1 D.m=2∶1，k=1∶2

6.如图，三个速度大小不同的同种带电粒子沿同一方向从图示长方形区域的匀强磁场边缘射入，当它们从下边缘飞出时，相对入射方向的偏角分别为90°、60°、30°，则它们在磁场中的运动时间之比为 (　　)

A.1∶1∶1 B.1∶2∶3
C.3∶2∶1 D.3∶2∶1

7.如图所示，两相邻且范围足够大的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ的磁感应强度方向平行、大小分别为B和2B。一带正电粒子(不计重力)以速度v从磁场分界线MN上某处射入磁场区域Ⅰ，其速度方向与磁场方向垂直且与分界线MN成60°角，经过t1时间后粒子进入磁场区域Ⅱ，又经过t2时间后回到磁场区域Ⅰ。设粒子在区域Ⅰ、Ⅱ中的角速度分别为ω1、ω2，则 (　　)

A.ω1∶ω2=1∶1 B.ω1∶ω2=2∶1
C.t1∶t2=1∶1 D.t1∶t2=2∶1

题组三　分析粒子在磁场中运动的轨迹
8.如图所示，一圆形区域内存在匀强磁场，AC为直径，O为圆心，一带电粒子从A沿AO方向垂直射入磁场，初速度为v1，从D点射出磁场时的速度为v2，则下列说法中正确的是(粒子重力不计) (　　)

A.v2>v1，v2的方向必过圆心
B.v2=v1，v2的方向必过圆心
C.v2>v1，v2的方向可能不过圆心
D.v2=v1，v2的方向可能不过圆心

9.一个带电粒子沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场，粒子的一段径迹如图所示。径迹上的每一小段都可近似看成圆弧。由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小(带电荷量不变)。从图中情况可以确定 (　　)

A.粒子从a到b，带正电 B.粒子从a到b，带负电
C.粒子从b到a，带正电 D.粒子从b到a，带负电

10.如图所示，MN是匀强磁场中的一块薄金属板，带电粒子(不计重力)在匀强磁场中运动并穿过金属板(粒子速率变小)，实线表示其运动轨迹，由图知 (　　)

A.粒子带正电
B.粒子的运动方向是edcba
C.粒子的运动方向是abcde
D.粒子在上半周所用时间比下半周所用时间长

11.如图所示，一束质量、速度和电荷量不全相等的离子，经过由正交的匀强电场和匀强磁场组成的速度选择器后，进入另一个匀强磁场中并分裂为A、B两束，下列说法中正确的是 (　　)

A.组成A束和B束的离子都带负电
B.组成A束和B束的离子质量一定不同
C.速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外
D.A束离子的比荷大于B束离子的比荷

12.如图所示，在MNQP中有一垂直纸面向里的匀强磁场，质量和电荷量都相等的带电粒子a、b、c以不同的速率从O点沿垂直于PQ的方向射入磁场，图中实线是它们的轨迹。已知O是PQ的中点，不计粒子重力。下列说法中正确的是 (　　)

A.射入磁场时粒子a的速率最小 B.粒子a带负电，粒子b、c带正电
C.射出磁场时粒子b的动能最小 D.粒子b在磁场中运动的时间最短

13.(多选)有一方向竖直向下的匀强磁场垂直于光滑绝缘水平面，如图所示(俯视图)。在A处静止放置一个不带电的金属球a，另一来自坐标原点的运动金属球b恰好沿y轴正方向撞向a球。碰撞后，关于两球的运动情景，可能正确的是 (　　)



14.(多选)如图所示，分界线MN上下两侧有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度分别为B1和B2。一质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力)从O点，以一定的初速度v0沿纸面垂直MN向上射出，经时间t又回到出发点O，形成了图示心形轨迹，则 (　　)

A.粒子一定带正电荷
B.MN上、下两侧的磁场方向相同
C.MN上、下两侧的磁感应强度的大小B1∶B2=1∶2
D.时间t=2πmqB2

能力提升练
题组一　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1.()(多选)如图所示，在边界上方存在着垂直纸面向里的匀强磁场，有两个电荷量、质量均相同，分别带正电和负电的粒子(不计重力)，从边界上的O点以相同速度先后射入磁场中，入射方向与边界成θ角，则两个粒子在磁场中 (　　)

A.运动轨迹的半径相同
B.重新回到边界所用时间相同
C.重新回到边界时速度大小和方向相同
D.重新回到边界时与O点的距离相等

2.()如图所示，在直角三角形abc区域(含边界)内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，∠a=60°，∠b=90°，边长ac=L。一个粒子源在a点将质量为m、电荷量为q的带正电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是 (　　)

　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.qBL2m B.3qBL6m
C.3qBL4m D.qBL6m

3.()如图所示，矩形区域MPQN长MN=3d，宽MP=d，一质量为m(不计重力)、电荷量为q的带正电粒子从M点以初速度v0水平向右射出，若区域内只存在竖直向下的电场或只存在垂直纸面向外的匀强磁场，粒子均能击中Q点，则电场强度E的大小与磁感应强度B的大小的比值为 (　　)

A.3v04 B.4v03 C.3v02 D.2v03

4.()半径为R的圆形区域内，存在着垂直纸面向里的匀强磁场，一个带负电的粒子(不计重力)，从A点以速度v0沿半径方向射入磁场，并从B点射出，∠AOB=120°，如图所示，则带电粒子在磁场中运动的时间为 (　　)

A.πRv0 B.23πR3v0
C.πR3v0 D.3πR3v0

题组二　带电粒子在组合场中的运动
5.()如图所示，在平面直角坐标系xOy的第二象限内有平行于y轴的匀强电场，电场强度大小为E，方向沿y轴负方向。在第一、四象限内有一个半径为R的圆，圆心坐标为(R，0)，圆内有方向垂直于xOy平面向里的匀强磁场。一带正电的粒子(不计重力)，以速度v0从第二象限内的P点沿平行于x轴的方向向右射入电场，通过坐标原点O进入第四象限，速度方向与x轴正方向成30°角，最后从Q点平行于y轴离开磁场，已知P点的横坐标为-2h。求：
(1)带电粒子的比荷qm；
(2)圆内磁场的磁感应强度B的大小；
(3)带电粒子从P点进入电场到从Q点射出磁场经历的总时间。深度解析





6.()如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度为E，第Ⅳ象限内存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从y轴正半轴上的M点以速度v0垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成θ角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出磁场(P点未画出)，已知ON=2OM，不计粒子重力，求：
(1)带电粒子从N点进入磁场时的速度大小和方向；
(2)磁感应强度大小B；
(3)粒子由M点到P点运动的时间。






题组三　带电粒子在叠加场中的运动
7.()如图，粗糙绝缘竖直平面MN左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，电场强度大小为E，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的小滑块从A点由静止开始沿MN下滑，到达C点时离开MN做曲线运动。A、C两点间距离为h，重力加速度为g。

(1)求小滑块运动到C点时的速度大小v1；
(2)求小滑块从A点运动到C点过程中与粗糙竖直平面摩擦产生的热量Q；
(3)若D点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到D点时撤去磁场，此后小滑块继续运动到水平地面上的P点。已知小滑块在D点时的速度大小为v2，从D点运动到P点的时间为t，求小滑块运动到P点时的动能大小。






8.()如图所示的竖直平面内有范围足够大、水平向左的匀强电场，在虚线的左侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一绝缘“⊂”形杆由两段直杆和一半径为R的半圆环组成，固定在纸面所在的竖直平面内，PQ、MN水平且足够长，半圆环MAP在磁场边界左侧，P、M点在磁场界线上，NMAP段是光滑的。现有一质量为m、带电荷量为+q的小环套在MN杆上，它所受到的电场力为重力的12。现从M右侧的D点由静止释放小环，小环刚好能到达P点。
(1)求D、M间的距离x0；
(2)求上述过程中小环第一次通过与O等高的A点时半圆环对小环作用力的大小；
(3)若小环与PQ间的动摩擦因数为μ(设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等)，现将小环移至M点右侧6R处由静止释放，求小环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功。




答案全解全析
基础过关练
1.BD　粒子在匀强磁场中受到的洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，有qvB=mv2r，解得r=mvqB，T=2πrv=2πmqB；两粒子的质量和电荷量均相同，但b粒子的速度大于a粒子的速度，则有ra 2.A　粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，则有qvB=mv2R，解得R=mvBq，故增大粒子的入射速度时，半径R增大，选项A正确，B错误；根据T=2πRv可得T=2πmBq，知周期和速度无关，增大入射速度时，周期不变，选项C、D错误。
3.BC　带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力不做功，所以粒子垂直进入另一磁感应强度是原来2倍的匀强磁场时，运动速率不变，选项A、D错误；由T=2πmqB可知，m、q不变，磁感应强度是原来的2倍，则粒子运动的周期减半，选项B正确；由R=mvqB可知，m、q不变，磁感应强度是原来的2倍，则粒子运动的轨迹半径减半，选项C正确。
4.A　质子和α粒子以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，轨迹半径为R=mvBq，和粒子的质量与电荷量的比值成正比，故R1∶R2=1∶2；周期T=2πmBq，和粒子的质量与电荷量的比值成正比，故T1∶T2=1∶2，选项A正确，B、C、D错误。
5.D　作出粒子的运动轨迹图，可知P、Q两粒子在磁场中的运动轨迹所对应的圆心角相等，轨迹半径之比为r1∶r2=2∶1。由t=θ2π·2πmqB=θmqB，得t1t2=m1q1∶m2q2=m；由于r=mvqB，得r1r2=m1q1∶m2q2=k，可知m=2∶1，k=1∶2，选项D正确。
6.C　粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期公式为T=2πmqB，由此可知，三个粒子在磁场中的运动周期相同，所以偏转角为90°的粒子的运动时间为14T，偏转角为60°的粒子的运动时间为16T，偏转角为30°的粒子的运动时间为112T，所以有t1∶t2∶t3=14T∶16T∶112T=3∶2∶1，选项C正确。
7.D　由洛伦兹力充当向心力，可知Bqv=mv2R，根据匀速圆周运动线速度和角速度的关系v=Rω，联立解得ω=Bqm，可知对于同一粒子，角速度与磁感应强度成正比，故ω1∶ω2=1∶2，选项A、B错误；粒子在两磁场中运动轨迹如图所示，粒子在Ⅰ中的偏转角为120°，在Ⅱ中的偏转角为120°，由T=2πmBq可知，粒子在Ⅱ中的周期为Ⅰ中周期的一半，则由t=θ2πT可知，t1∶t2=2∶1，选项C错误，D正确。

8.B　洛伦兹力不改变速度的大小，所以v2=v1。如图，连接A、D，作AD的垂直平分线，找出运动轨迹对应的圆心B，由几何关系可得BD一定垂直于OD，因为粒子做匀速圆周运动的速度方向垂直于轨迹半径，所以速度v2的方向沿OD，故v2的方向必过圆心，选项B正确。

9.C　由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小，可知速度逐渐减小；根据粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式r=mvqB可知，粒子的运动半径逐渐减小，所以粒子的运动方向是从b到a；再根据左手定则可知粒子带正电，选项C正确，A、B、D错误。
10.B　带电粒子穿过金属板后速率变小，根据带电粒子在匀强磁场中运动的半径公式r=mvqB，可知粒子的运动半径将减小，故粒子应是由下方穿过金属板，故粒子的运动方向为edcba；根据左手定则可知，粒子带负电，选项A、C错误，B正确。由T=2πmqB可知，粒子运动的周期和速度无关，故穿过金属板后周期不变；而上下均为半周，故所对应的圆心角相同，粒子在上半周与下半周的运动时间均为T2，选项D错误。
11.D　离子进入上面磁场时，速度方向向上，洛伦兹力方向向左，根据左手定则可判断出组成A束和B束的离子都带正电，选项A错误。对于沿直线经过速度选择器的离子，有qvB1=qE，可得v=EB1，组成A束和B束的离子的速度大小相等；进入上面磁场后，有qvB2=mv2r，得r=mvqB2，因为rAqBmB；又知离子的质量、速度和电荷量不全相等，故组成A束和B束的离子质量可能相等、可能不等，选项B错误、D正确。速度选择器左板带正电，右板带负电，则电场方向向右，离子带正电，则所受电场力的方向向右，故洛伦兹力方向向左，据左手定则可判断出磁场方向垂直纸面向里，选项C错误。
12.D　粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB=mv2r，解得v=qBrm；由题图可知，粒子c的轨迹半径最小，则其射入磁场时速率最小，选项A错误。由题图可知，a向左偏，b、c向右偏，根据左手定则知粒子a带正电，粒子b、c带负电，选项B错误。粒子的动能Ek=12mv2=q2B2r22m，由于q、B、m都相同，因此r越大，粒子动能越大；由题图可知，b的轨迹半径最大，则b的动能最大，c的轨迹半径最小，则c的动能最小，选项C错误。粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T=2πmqB，粒子在磁场中的运动时间t=θ2πT=θmqB，由于m、q、B都相同，粒子c转过的角度θ最大，则c在磁场中运动的时间最长，粒子b转过的角度θ最小，则b在磁场中的运动时间最短，选项D正确。
13.AD　依题意可判断出金属球b带正电，受到水平方向的洛伦兹力作用沿逆时针方向做匀速圆周运动。与a球碰撞后，两球都带上了正电，它们的速度可能同向，运动轨迹可能如A项图所示；两球速度方向还可能相反，运动轨迹可能如D项图所示。
14.BD　题中未给出磁场的方向和粒子绕行的方向，所以不能判定粒子所带电荷的正负，选项A错误。粒子越过磁场的分界线MN时，洛伦兹力的方向没有变，根据左手定则可知MN上下两侧的磁场方向相同，选项B正确。设MN上方的轨迹半径是r1，下方的轨迹半径是r2，根据几何关系可知r1∶r2=1∶2；洛伦兹力充当粒子做圆周运动的向心力，有qv0B=mv02r，解得B=mv0qr，所以B1∶B2=r2∶r1=2∶1，选项C错误。由题图知，时间t=T1+T22=2πmqB1+πmqB2，由B1∶B2=2∶1得t=2πmqB2，选项D正确。
导师点睛　粒子越过磁场的分界线MN时，洛伦兹力的方向没有变，但是轨迹半径发生变化，所以MN上、下两侧的磁感应强度方向相同，大小不同。
能力提升练
1.ACD　根据牛顿第二定律得qvB=mv2r，解得r=mvqB，由题知q、m、v、B大小均相同，则r相同，选项A正确。粒子的运动周期T=2πmqB，由题知q、m、B大小均相同，则T相同；正、负两粒子的运动轨迹如图所示，带正电的粒子逆时针偏转，带负电的粒子顺时针偏转，重新回到边界时，带正电的粒子的速度偏向角为2π-2θ，轨迹对应的圆心角也为2π-2θ，运动时间为t=2π-2θ2πT；同理，带负电的粒子运动时间为t'=2θ2πT，时间不等，选项B错误。两个粒子在磁场中均做匀速圆周运动，速度沿轨迹的切线方向，根据对称性可知，两粒子重新回到边界时速度大小与方向均相同，选项C正确。根据几何知识得知，两粒子重新回到边界时与O点的距离均为2r sin θ，选项D正确。

2.A　根据题意可知，当粒子沿ab方向射入并且运动轨迹与bc相切时，粒子在磁场中的运动时间最长，速度最大，运动轨迹如图所示，设轨迹半径为R，根据几何知识可知aC=23R3，AC=33R，CE=R-33R，则Cc=2R-33R，L=aC+Cc=233R+2R-33R=2R，可得R=L2；由于qvB=mv2R，得到v=qBL2m，选项A正确。

3.B　只有电场时，粒子做类平抛运动，水平方向有3d=v0t，竖直方向有d=12·qEmt2，联立解得E=2mv023qd。只有磁场时，粒子做匀速圆周运动，轨迹如图所示，结合几何关系，有r2=(r-d)2+(3d)2，解得r=2d；洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有qv0B=mv02r，解得B=mv02qd，故EB=43v0，选项B正确。

4.D　粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，根据几何知识可知，粒子轨迹对应的圆心角为60°，轨迹半径为r=R tan 60°=3R，粒子运动的弧长为l=60°360°×2πr=33πR，则粒子的运动时间t=lv0=3πR3v0，选项D正确，A、B、C错误。

方法技巧　带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题的解题方法

5.答案　(1)3v026Eℎ　(2)4Eℎv0R　(3)6ℎ+3πR3v0
解析　(1)在电场中，粒子在水平方向做匀速直线运动，得2h=v0t1
在竖直方向做匀加速直线运动，粒子到达原点O时，竖直向下的分速度vy=v0 tan 30°，且vy=at1，加速度a=qEm
联立解得qm=3v026Eℎ
(2)设粒子进入磁场时的速度为v，有cos 30°=v0v
粒子的运动轨迹如图所示(实线)

由几何关系得，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r=R
由洛伦兹力提供向心力，可知qvB=mv2r
联立解得B=4Eℎv0R
(3)粒子在磁场中运动的时间为t2=120°360°T，粒子在磁场中运动的周期为T=2πrv=3πRv0
粒子在电场中运动的时间为t1=2ℎv0
粒子运动的总时间t=t1+t2
联立解得t=6ℎ+3πR3v0
方法技巧　“5步”突破带电粒子在组合场中的运动问题

6.答案　(1)2v0，方向与x轴正方向成45°角斜向下　(2)Ev0
(3)mv0qE1+3π4
解析　(1)带电粒子在电场中做类平抛运动，出电场时的速度的反向延长线经过水平位移的中点，由于ON=2OM，故有tan θ=1，则θ=45°，v=v0tanθ=2v0。
(2)带电粒子在复合场中的运动轨迹如图

由几何关系可知轨迹半径r=2·ON
带电粒子在电场中做类平抛运动，设运动时间为t1
水平方向有ON=v0t1
竖直方向有ON2=12·qEmt12
联立解得ON=mv02qE
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB=mv2r
得r=mvqB
其中v=2v0
联立解得B=Ev0
(3)带电粒子出电场时，竖直方向的分速度为vy=at1=v0
加速度a=qEm
得t1=mv0qE
粒子在磁场中的运动周期T=2πrv=2πr2v0
粒子在磁场中的运动时间为t2=135°360°T=38T
联立解得t2=3πmv04qE
所以总时间为t=t1+t2=mv0qE1+3π4
7.答案　(1)EB　(2)mgh-mE22B2　(3)(mg)2+(qE)22m·t2+12mv22
解析　(1)由题意知，当洛伦兹力等于电场力时，小滑块即将离开竖直平面MN，有Bqv1=qE　①
解得v1=EB　②
(2)小滑块从A到C过程，根据能量守恒定律得mgh=12mv12+Q　③
解得Q=mgh-mE22B2　④
(3)设重力与电场力的合力为F，由题意知，在D点时速度v2的方向与F的方向垂直。撤去磁场后，小滑块从D到P做类平抛运动，在力F方向上，滑块做匀加速直线运动，有
F=ma　⑤
力F方向即垂直于v2方向的位移x=12at2　⑥
根据动能定理有Fx=EkP-12mv22　⑦
又知F=(mg)2+(qE)2　⑧
联立解得EkP=(mg)2+(qE)22m·t2+12mv22
8.答案　(1)4R　(2)72mg+qB3gR　(3)mgR或2μmgR1+2μ
解析　(1)小环从D点到P点的过程中，由动能定理得
qEx0-2mgR=0
已知qE=12mg
得x0=4R
(2)设小环在A点时速度为vA，小环从D点到A点过程中，由动能定理得qE(x0+R)-mgR=12mvA2
得vA=3gR
在A点，由牛顿第二定律得N-qvAB-qE=mvA2R
解得N=72mg+qB3gR
(3)若μmg≥qE即μ≥12，小环到达P点右侧距P s1处静止，则有
qE(6R-s1)-mg·2R-μmgs1=0
得s1=2R1+2μ
所以小环克服摩擦力做功W=μmgs1=2μmgR1+2μ
若μmg 得W'=mgR