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高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册6.1 函数的单调性优质课课件ppt
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这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册6.1 函数的单调性优质课课件ppt，共32页。PPT课件主要包含了答案B，答案D，答案A，答案1D，答案2ABC，答案2D，答案C等内容，欢迎下载使用。
要点 导数与函数的单调性在某个区间(a，b)内，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
(1)若在某区间上有有限个点使f ′(x)＝0，其余的点恒有f ′(x)＞0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f ′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f ′(x)不恒为0.
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．( )(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( )(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( )(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．( )
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则( )
A．f′(3)>0 B．f′(3)<0C．f′(3)＝0 D．f′(3)的符号不确定
解析：由图象可知，函数f(x)在(1，5)上单调递减，则在(1，5)上有f′(x)<0，所以f′(3)<0.故选B.
3．导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
解析：∵当x>0时，f′(x)>0，当x<0时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，故选D.
4．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：例如取f(x)＝x3(－1
解析：(1)由f(x)的图象可知，y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，因此在x<0时，有f′(x)>0(即全部在x轴上方)，故排除A、C.从原函数图象上可以看出，在区间(0，x1)上原函数是增函数，f′(x)>0；在区间(x1，x2)上原函数是减函数，f′(x)<0；在区间(x2，＋∞)上原函数是增函数，f′(x)>0，故排除B，故选D.
(2)(多选题)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个平面直角坐标系中，正确的是( )
解析：(2)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合，D不可能，故选ABC.
函数与导数图象间的关系判断函数与导数图象间的对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次再注意以下两个方面：(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
跟踪训练1 (1)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
解析：(1)当f′(x)<0时，函数f(x)单调递减，当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，则由导函数y＝f′(x)的图象可知：f(x)先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A、C，且f′(0)>0，所以在x＝0附近函数应单调递增，排除B.故选D.
(2)已知y＝x·f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
解析：(2)当x>0时，y＝x·f′(x)在[0，b]上恒大于等于零⇒f′(x)≥0，在[0，b]上恒成立，故f(x)在[0，b]上递增，当x≤0时，f′(x)≤0在(－∞，0]上恒成立，故f(x)在(－∞，0]上递减，只有D满足，故选D.
题型二 用导数研究不含参数的函数单调性例2 判断下列函数的单调性(1)f(x)＝x2－ln x；
用导数判断函数单调性的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)；(4)写出结论．
答案：(1)C (2)递减
变式探究 本例中的条件“a>0”改为“a∈R”，结果如何？
在讨论含有参数的函数单调性时，若f′(x)中的参数不容易判断其正负时，需要对参数进行分类，分类的标准：(1)按导函数是否有零点分大类；(2)在大类中再按导数零点的大小分小类；(3)在小类中再按零点是否在定义域中分类．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，讨论f(x)的单调性．
1．已知f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
解析：由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0x1时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数，观察选项易知C正确，故选C.
2．如果函数f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上f′(x)＜0，则在(0，＋∞)上f(x)的单调性是( )A．递增 B．递减C．先减后增 D．先增后减
解析：∵在(－∞，0)上f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，0)上递减，又函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，∴在(0，＋∞)上f(x)递增．故选A.
3．“m<4”是“函数f(x)＝2x2－mx＋ln x在(0，＋∞)上单调递增”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设f(x)＝x－sin x，则f(x)( )A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数
解析：由题意知f(0)＝0，f(x)的定义域为R.∵f(－x)＝－x－sin (－x)＝－(x－sin x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，又f′(x)＝1－cs x ≥0，∴f(x)是增函数，故选B.
5．设函数f(x)＝ax－1－ln x，讨论函数f(x)的单调性．
要点 导数与函数的单调性在某个区间(a，b)内，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
(1)若在某区间上有有限个点使f ′(x)＝0，其余的点恒有f ′(x)＞0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f ′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f ′(x)不恒为0.
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．( )(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( )(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( )(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．( )
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则( )
A．f′(3)>0 B．f′(3)<0C．f′(3)＝0 D．f′(3)的符号不确定
解析：由图象可知，函数f(x)在(1，5)上单调递减，则在(1，5)上有f′(x)<0，所以f′(3)<0.故选B.
3．导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
解析：∵当x>0时，f′(x)>0，当x<0时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，故选D.
4．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：例如取f(x)＝x3(－1
解析：(1)由f(x)的图象可知，y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，因此在x<0时，有f′(x)>0(即全部在x轴上方)，故排除A、C.从原函数图象上可以看出，在区间(0，x1)上原函数是增函数，f′(x)>0；在区间(x1，x2)上原函数是减函数，f′(x)<0；在区间(x2，＋∞)上原函数是增函数，f′(x)>0，故排除B，故选D.
(2)(多选题)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个平面直角坐标系中，正确的是( )
解析：(2)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合，D不可能，故选ABC.
函数与导数图象间的关系判断函数与导数图象间的对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次再注意以下两个方面：(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
跟踪训练1 (1)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
解析：(1)当f′(x)<0时，函数f(x)单调递减，当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，则由导函数y＝f′(x)的图象可知：f(x)先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A、C，且f′(0)>0，所以在x＝0附近函数应单调递增，排除B.故选D.
(2)已知y＝x·f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
解析：(2)当x>0时，y＝x·f′(x)在[0，b]上恒大于等于零⇒f′(x)≥0，在[0，b]上恒成立，故f(x)在[0，b]上递增，当x≤0时，f′(x)≤0在(－∞，0]上恒成立，故f(x)在(－∞，0]上递减，只有D满足，故选D.
题型二 用导数研究不含参数的函数单调性例2 判断下列函数的单调性(1)f(x)＝x2－ln x；
用导数判断函数单调性的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)；(4)写出结论．
答案：(1)C (2)递减
变式探究 本例中的条件“a>0”改为“a∈R”，结果如何？
在讨论含有参数的函数单调性时，若f′(x)中的参数不容易判断其正负时，需要对参数进行分类，分类的标准：(1)按导函数是否有零点分大类；(2)在大类中再按导数零点的大小分小类；(3)在小类中再按零点是否在定义域中分类．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，讨论f(x)的单调性．
1．已知f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
解析：由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0
2．如果函数f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上f′(x)＜0，则在(0，＋∞)上f(x)的单调性是( )A．递增 B．递减C．先减后增 D．先增后减
解析：∵在(－∞，0)上f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，0)上递减，又函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，∴在(0，＋∞)上f(x)递增．故选A.
3．“m<4”是“函数f(x)＝2x2－mx＋ln x在(0，＋∞)上单调递增”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设f(x)＝x－sin x，则f(x)( )A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数
解析：由题意知f(0)＝0，f(x)的定义域为R.∵f(－x)＝－x－sin (－x)＝－(x－sin x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，又f′(x)＝1－cs x ≥0，∴f(x)是增函数，故选B.
5．设函数f(x)＝ax－1－ln x，讨论函数f(x)的单调性．
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