2023扬州高三下学期开学考试数学含答案

2022－2023学年度第二学期期初考试

               高 三 数 学          2023.02

(全卷满分150分，考试时间120分钟)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数z满足i(z＋i)＝2＋i(i为虚数单位)，则复数z在复平面内所对应的点在(    )

A．第一象限        B．第二象限        C．第三象限        D．第四象限

2．已知a，b∈R，则“a＜b”是“a＜b－1”的(    )

A．充分不必要条件                     B．必要不充分条件

C．充要条件                           D．既不充分也不必要条件

3．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝100，则其前9项和等于(    )

A．150            B．180             C．300            D．360

4．平面向量，满足＋＝(3，－2)，－＝(1，x)，且·＝0，则x的值为(    )

A．              B．               C．±2          D．±2

5．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为，则它的侧棱与底面所成角的正切直约为(    )

A．        B．           C．          D．

6．已知α，β∈(0，)，2tanα＝，则tan(2α＋β＋)＝(    )

A．            B．－            C．            D．

7．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，则对于以下数据：

2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，2x4＋1，2x5＋1，1，2，3，4，5

下列选项正确的是(    )

A．平均数是3，方差是7               B．平均数是4，方差是7

C．平均数是3，方差是8               D．平均数是4，方差是8

8．在平面直角坐标系xOy中，x轴正半轴上从左至右四点A、B、C、D横坐标依次为a－c、a、a＋c、2a，y轴上点M、N纵坐标分别为m、－2m(m＞0)，设满足PA＋PC＝2a的动点P的轨迹为曲线E，满足QN＝2QM的动点Q的轨迹为曲线F，当动点Q在y轴正半轴上时，DQ交曲线E于点P0(异于D)，且OP0与BQ交点恰好在曲线F上，则a：c＝(    )

A．             B．               C．2            D．3

二、多项选择题：全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列说法中正确的有(    )

A．＝                     B．＋＝

C．＋＋＋…＋＝2n        D．(1＋x)4展开式中二项式系数最大的项为第三项

10．已知实数a，b＞0，2a＋b＝4，则下列说法中正确的有(    )

A．＋有最小值                B．a2＋b2有最小值

C．4a＋2b有最小值8              D．lna＋lnb有最小值ln2

11．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如[－3.5]＝－4，[3.5]＝3．已知函数f(x)＝cosx＋|cosx|，函数g(x)＝[f(x)]，则下列说法中正确的有(    )

A．函数f(x)在区间(0，π)上单调递增     B．函数f(x)图象关于直线x＝kπ(k∈Z)对称

C．函数g(x)的值域是{0，1，2}         D．方程g(x)＝x只有一个实数根

12．在四面体ABCD的四个面中，有公共棱AC的两个面全等，AD＝1，CD＝，∠CDA＝90°，二面角B－AC－D大小为θ，下列说法中正确的有(    )

A．四面体ABCD外接球的表面积为3π     B．四面体ABCD体积的最大值为

C．若AD＝AB，AD⊥AB，则θ＝120°      D．若AD＝BC，θ＝120°，则BD＝

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S3＝4，S6＝12，则S9＝   ▲   ．

14．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，且右支上有一点P(p，1)，则cos∠F1PF2＝   ▲   ．

15．某个随机数选择器每次从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中等可能地选择一个数字，用该随机数选择器连续进行三次选择，选出的数字依次是a，b，c，则概率P(a＜b＜c)＝   ▲   ．

16．已知函数f(x)＝ax2＋x，若当x∈[0，1]时，|f(x＋1)|≤a＋1恒成立，则实数a的取值范围是   ▲   ．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＝an＋1－2．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝log2an．

①cn＝bnan；②cn＝；③cn＝(－1)n(bn)2．

从上面三个条件中任选一个，求数列{cn}的前n项和Tn．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．(本小题满分12分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．A＝，b＝10，c＝6，△ABC的内切圆I的面积为S．

(1)求S的值；

(2)若点D在AC上，且B，I，D三点共线，求·的值．

19．(本小题满分12分)

在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ACC1A1是菱形，∠A1AC＝60°，AA1＝2，AC⊥A1B．

(1)求证：BA＝BC；

(2)已知AB＝，A1B＝2，求直线A1B与平面A1B1C所成角的正弦值．

20．(本小题满分12分)

云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书(2022年)》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：

经计算得：＝36.33，＝112.85．

(1)根据以上数据，建立y关于x的回归方程ŷ＝e(e为自然对数的底数)．

(2)云计算为企业降低生产成本、提升产品质量提供了强大助推力．某企业未引入云计算前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差ε~N(0，)，其中m为单件产品的成本(单位：元)，且P(－1＜ε＜1)＝0.6827；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差ε~N(0，)．若保持单件产品的成本不变，则P(－1＜ε＜1)将会变成多少?若保持产品质量不变(即误差的概率分布不变)，则单件产品的成本将会下降多少?

附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线ŷ＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－．

若X~N(μ，σ2)，则P(|X－μ|＜σ)＝0.6827，P(X－μ|＜2σ)＝0.9545，P(|X－μ|＜3σ)＝0.9973．

21．(本小题满分12分)

已知AB为抛物线G：y2＝2px(p＞0)的弦，点C在抛物线的准线l上．当AB过抛物线焦点F且长度为8时，AB中点M到y轴的距离为3．

(1)求抛物线G的方程；

(2)若∠ACB为直角，求证：直线AB过定点．

22．(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝e，x∈R；g(x)＝cosx，x∈(－，)．(e为自然对数的底数，e≈2.718)．

(1)若函数h(x)＝af(x)－g(x)在区间(－，)上单调递减，求实数a的取值范围；

(2)是否存在直线l同时与y＝f(x)、y＝g(x)的图象相切?如果存在，判断l的条数，并证明你的结论；如果不存在，说明理由．