数学选择性必修 第一册2.1 双曲线及其标准方程测试题
展开2.2 双曲线
一、 概念练习
1.曲线的方程为,则双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
2.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是()
A. B. C.1 D.
3.已知双曲线上的点P到的距离为15,则点P到点的距离为()
A.7 B.23 C.5或25 D.7或23
4.已知抛物线的焦点为F,准线为l.若l与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B,且(O为原点),则双曲线的离心率为()
A. B. C.2 D.
5.抛物线的焦点为F,其准线与双曲线的渐近线相交于A、B两点,若的周长为,则( )
A.2 B. C.8 D.4
二、能力提升
6.双曲线的焦距为4,一个顶点是抛物线的焦点,则双曲线的离心率等于( )
A.2 B. C. D.
7.设双曲线的左、右焦点分别为,,若双曲线上存在一点P,使,且,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
8.过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是()
A. B. C. D.
9.设F为双曲线的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆交于P,Q两点.若,则C的离心率为()
A. B. C.2 D.
10.设,是双曲线的左,右焦点,O是坐标原点.过作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若,则C的离心率为()
A. B.5 C. D.
11.已知双曲线的焦距为8,则实数m的值为__________.
12.已知双曲线的左焦点为F,过F且斜率为的直线交双曲线于点,交双曲线的渐近线于点且.若,则双曲线的离心率是___________.
13.若双曲线的渐近线与圆相切,则_________.
14.已知,分别是双曲线的左、右焦点,P是双曲线上一点,到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍.
(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)当时,的面积为,求此双曲线的方程.
15.已知双曲线的右焦点为,点F到C的渐近线的距离为1.
(1)求C的方程.
(2)若直线与C的右支相切,切点为与直线交于点Q,问x轴上是否存在定点M,使得?若存在,求出M点坐标;若不存在,请说明理由.
答案以及解析
1.答案:C
解析:令,得,故,双曲线的渐近线方程是,选C.
2.答案:B
解析:抛物线的焦点为,到双曲线的一条渐近线的距离为,故选B.
3.答案:D
解析:设双曲线的左、右焦点分别为,.由题意得,,,则由双曲线的定义知,||,而,所以或.故选D.
4.答案:D
解析:如图,由题意可知抛物线的焦点为,准线方程为,
,,又点A在直线上,
,,
双曲线的离心率.故选D.
5.答案:A
解析:双曲线的渐近线方程为,抛物线的准线方程为,设A在x轴上方,则,,,.
又的周长为,
,.
6.答案:A
解析:因为双曲线的焦距为4,所以,
易知抛物线的焦点为,所以,因此离心率为,故选A.
7.答案:C
解析:因为点P在双曲线上,且,
所以,
所以,,
因为,
所以,
即,
整理得,
所以离心率.故选C.
8.答案:A
解析:因为所求双曲线与双曲线有相同渐近线,
所以设其方程为,
又点在双曲线上,
所以,解得,
则双曲线方程为.
故选A.
9.答案:A
解析:如图,,过点.
.
又,,
,.故选A.
10.答案:C
解析:点到渐近线的距离,而,所以在中,由勾股定理可得,所以.
在中,,
在中,
,
所以,
则有,解得(负值舍去),即.故选C.
11.答案:11
解析:由题意可得,,,
则由得,解得.
12.答案:
解析:结合题意作出图形如图所示,由题意知,过左焦点且斜率为的直线的方程为,由,解得,所以.因为,所以,即,得,所以,将代入双曲线方程,可得,结合离心率得,又,所以双曲线的离心率为.
13.答案:
解析:双曲线的渐近线方程为,圆的方程可化为,则圆心坐标为,半径.双曲线的渐近线与圆相切,圆心到渐近线的距离,得.
14.答案:(1)
(2)
解析:(1)由题易得,双曲线的渐近线方程为,
则点到渐近线的距离为(其中c是双曲线的半焦距),
所以由题意知,因为,
所以,故所求双曲线的渐近线方程是.
(2)因为,
所以由余弦定理得,
即①,
由双曲线的定义得,,
平方得,②,
①-②得,,
根据三角形的面积公式得,
所以,由(1)中得,
故所求双曲线方程是.
15.答案:(1)
(2)
解析:(1)易知C的渐近线方程为,
所以到渐近线的距离,
所以,
所以C的方程为.
(2)由题意易知直线的斜率存在,设其方程为,联立与C的方程,消去y,得,
因为直线与C的右支相切,所以,
得,则.
设切点,则,
.
设,因为Q是直线与直线的交点,所以.
假设x轴上存在定点,使得,
则
,
故存在,使得,即,
所以x轴上存在定点,使得.
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