人教版数学九年级下册 27.2.1 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似 课件

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第4课时 两角分别相等的两个三角形相似27.2.1 相似三角形的判定第二十七章 相 似 学校举办活动，需要三个内角分别为 90°，60°，30° 的形状相同、大小不同的三角纸板若干．小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？情境引入问题一 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值．你有什么发现？两角分别相等的两个三角形相似合作探究 与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A =∠A′ = 40°，∠B =∠B′ = 55°，探究下列问题：证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′（或 A′B′的延长线）上截取 A′D = AB，过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E，则有 △A′DE∽△A′B′C′，∠A′DE =∠B′．∵∠B =∠B′，∴∠A′DE =∠B．又∵ A′D = AB，∠A =∠A′，∴△A′DE ≌△ABC（ASA）．∴△ABC∽△A′B′C′．CAA'BB'C'DE问题二 试证明 △ABC∽△A′B′C′.由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似.∵∠A =∠A'，∠B =∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'.符号语言：归纳：在△ABC 和△A'B'C' 中，证明：在△ABC 中，∵∠A = 40°，∠B = 80°，∴∠C = 180°－∠A－∠B = 60°．在△DEF 中，∵∠E = 80°，∠F = 60°，∴∠B =∠E，∠C =∠F．∴△ABC∽△DEF．例 1 如图，在△ABC 和 △DEF 中，∠A = 40°，∠B = 80°，∠E = 80°，∠F = 60°．求证：△ABC∽△DEF．典例精析 如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，若∠A = 50°，∠B = 75°，∠A' = 50°，则当∠C' = ° 时，△ABC∽△A'B'C'.练一练55例 2 如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P，求证：PA · PB = PC · PD．证明：连接 AC，DB．∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角，∴ ∠A = _______．同理 ∠C = _______，∴ △PAC ∽ △PDB.∴__________， 即 PA · PB = PC · PD.∠D∠B如图，⊙O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA = 3，PB = 8，PC = 4，则 PD = . 6练一练【分析】此图中，没有完整的三角形出现，根据题目给的四条边可知，它们属于△BCP 和△ADP，因此连接 AD、BC，根据圆周角的性质得到相似三角形，进而根据对应边成比例求解．解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA = 90°. 又∠C = 90°，∠A =∠A， ∴△AED ∽△ABC.判定两个直角三角形相似例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为 D．求 AD 的长．由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似．归纳： 对于两个直角三角形，我们可以用 “HL”判定它们全等．那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？思考：证明：设 = k，则 AB = kA′B′，AC = kA′C′.由 ，得 ∴ .∴ Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.勾股定理__________________________由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.归纳：【分析】观察得到 AB 和 AC 分别是斜边，但两条直角边的对应关系并没有确定，因此需要分类讨论．2解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，要使这两个直角三角形相似，有两种情况：(1) 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时， AC : AD = AB : AC，即 : 2 =AB : ，解得 AB = 3；(2) 当 Rt△ABC ∽ Rt△CAD 时， AC : CD ＝ AB : AC，即 : = AB : ，解得 AB = ．∴ 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似．2 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C =∠C′ = 90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.(1) ∠A = 35°，∠B′ = 55°： ；(2) AC = 3，BC = 4，A′C′ = 6，B′C′ = 8： ；(3) AB = 10，AC = 8，A′B′ = 25，B′C′ = 15： .练一练是是是1. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC =∠E，则图中的 相似三角形共有 ( ) A. 1 对 　　 B. 2 对 C. 3 对 　 　D. 4 对C2. 如图，△ABC 中，AE 交 BC 于点 D，∠C =∠E，AD : DE = 3 : 5，AE = 8，BD = 4，则 DC 的长等于 ( )A3. 如图，点 D 在 AB 上，当∠ ＝∠ (或 ∠ =∠ ) 时，△ACD∽△ABC.ACD ACB B ADC4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，BD⊥AC 于 D．若 AB = 6，AD = 2，则 BD = ，AC = ， BC = .185. 如图，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC. 证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED =∠C，∠A =∠FEC. ∴ △ADE∽△EFC. 证明： ∵ △ABC 的高 AD、BE 交于点 F，∴ ∠FEA =∠FDB = 90°， ∠AFE =∠BFD (对顶角相等).∴ △FEA ∽ △ FDB，∴证明：∵∠BAC =∠1 +∠DAC，∠DAE =∠3 + ∠DAC，∠1 =∠3，∴ ∠BAC =∠DAE.∵ ∠C =∠AOD－∠2， ∠E =∠AOD－∠3， ∠2 =∠3，∴ ∠C =∠E.∴ △ABC∽△ADE.7. 如图，∠1 =∠2 =∠3，求证：△ABC∽△ADE．两角分别相等的两个三角形相似利用两角判定三角形相似直角三角形相似的判定