人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.5 数学归纳法同步练习题

【精挑】5.5 数学归纳法随堂练习

一．单项选择

1．数列满足：，前项和.

（1）求，，；

（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.

2．设，，，…，，希望证明，在应用数学归纳法求证上式时，第二步从到应添的项是______.

3．在数列中，已知，.

（1）计算，，；

（2）根据计算结果猜想出的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.

4．已知数列满足，，那么______.

5．已知数列满足，，则当时，下列判断一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

6．在数列{an}中，a1=，且an+1=2an-.

（1）分别计算a2，a3，a4，并由此猜想{an}的通项公式；

（2）用数学归纳法证明你的猜想.

7．用数学归纳法证明不等式“（，）”的过程中，由推导时，不等式的左边增加的式子是（    ）

A． B．

C． D．

8．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N.

（1）求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；

（2）证明（1）中的猜想.

9．已知正实数列a1，a2，满足对于每个正整数k，均有，证明：

（Ⅰ）a1+a2≥2；

（Ⅱ）对于每个正整数n≥2，均有a1+a2++an≥n．

10．已知数列，，，...，，...，记数列的前项和.

（1）计算，，，；

（2）猜想的表达式，并证明.

11．试用数学归纳法证明.

12．如图，曲线与直线相交于，作交轴于，作交曲线于，…，以此类推.

（1）写出点和的坐标；

（2）猜想的坐标，并用数学归纳法加以证明.

13．用数学归纳法证明.

14．如图所示的数阵，第行最右边的数是_________．

15．在平面直角坐标系中，函数在第一象限内的图像如图所示，试做如下操作：把x轴上的区间等分成n个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数的图像上.若用表示第k个矩形的面积，表示这n个叫矩形的面积总和.

（1）求的表达式；

（2）利用数学归纳法证明，并求出的表达式

（3）求的值，并说明的几何意义.

参考答案与试题解析

1．【答案】（1）,,,（2）,证明见解析.

试题分析：（1）根据，计算可得答案；

（2）根据，，，猜想可得，再根据数学归纳法的步骤进行证明即可得解.

详解：（1）由得，所以，

由，得，所以，

由，得，所以，

（2）由（1）知，，，，，

所以猜想：，

证明：1°当时，成立，

2°假设时，等式成立，即，

那么当时，，

所以，

即时，等式也成立，

所以.

【点睛】

本题考查了不完全归纳法，考查了利用数学归纳法证明等式，属于基础题.

【解析】

2．【答案】

【解析】写出的表达式，通过比较可以知道第二步从到应添的项.

详解：当时，,

当时，,通过对比可以发现，第二步从到应添的项是.

故答案为：

【点睛】

本题考查了数学归纳法证明过程中添项问题，属于基础题.

3．【答案】（1），，；（2），证明见解析.

试题分析：（1）利用，分别取可求出，并由此猜想数列的通项公式的表达式；

（2）根据计算结果猜想数列的通项公式的表达式，用数学归纳法证明①当时，，猜想成立；②假设成立，利用，可证得当时猜想也成立，故可得结论.

详解：（1）∵，

∴，

同理可得：，.

（2）由（1）计算结果猜想，

下面用数学归纳法证明：

①当时，，猜想成立，

②假设当时，猜想成立，即：.

则当时，，

所以，当时，猜想成立.

根据①②可知猜想对任何都成立.

【点睛】

本题主要考查了以数列递推式为载体，考查了数列的通项的猜想与证明，解题的关键是利用数学归纳法证明，尤其第二步的证明.属于中档题．

【解析】

4．【答案】2019

【解析】根据特值，归纳得到数列的通项公式，即可求得.

详解：因为，，

故可得，

由此归纳总结可得，

故可得；

事实上，当时，满足题意；

当时，成立，

则当时，

,

故当时，也成立.

即证当时，成立.

故答案为：2019.

【点睛】

本题考查由数列的递推公式，求数列的通项公式，涉及数学归纳法，属综合中档题.

5．【答案】C

【解析】根据特殊值法，分别令，，即可判断ABD错误；再由数学归纳法证明C选项正确.

详解：因为数列满足，，

若，则，不满足，故A错误；

若，则，，，

不满足，故D错误；

又此时，不满足，故B错误；

因为，所以，当且仅当，即时，等号成立；

构造函数，，，所以，

则在上显然恒成立，

所以在上单调递增；

因此在上单调递增，所以，

猜想，对任意恒成立；

下面用数学归纳法证明：

（1）当时，，显然成立；

（2）假设当时，不等式成立，即恒成立；

则时，，

因为函数在上单调递增；

所以，

即成立；

由（1）（2）可得；，对任意恒成立；故C正确.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查数列递推式的应用，涉及数学归纳法证明不等式，属于常考题型.

6．【答案】（1），；（2）证明见解析.

试题分析：（1）由已知直接计算，，，并由此猜想的通项公式；

（2）验证成立，假设当时，结论成立，结合已知递推式及归纳假设证明时结论成立．

详解：（1）解：由，且，

得，，．

猜想的通项公式；

（1）证明：（用数学归纳法）．

①当时，，，结论成立；

②假设当时，结论成立，即．

那么，当时，

．

当时，结论成立．

综①②所述，结论对于任意的都成立．

【点睛】

本题主要考查归纳推理，训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，是中档题．

【解析】

7．【答案】D

【解析】把用替换后两者比较可知增加的式子．

详解：当时，左边，

当时，左边，

所以由推导时，不等式的左边增加的式子是，

故选：D.

【点睛】

本题考查数学归纳法，掌握数学归纳法的概念是解题基础．从到时，式子的变化是数学归纳法的关键．

8．【答案】（1）a1＝－1；a2＝－；a3＝－；猜想an＝－（n∈N）（2）证明见解析

试题分析：（1）分别令n＝1．2，通过解一元二次方程结合已知的递推公式可以求出a1，a2，同理求出a3，根据它们的值的特征猜想{an}的通项公式；

（2）利用数学归纳法，通过解一元二次方程可以证明即可.

详解：（1）当n＝1时，由已知得a1＝＋－1，

即

∴

当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，

将a1＝－1代入并整理得＋2a2－2＝0.

∴a2＝－（a2>0）.

同理可得a3＝－.

猜想an＝－（n∈N）.

（2）【证明】①由（1）知，当n＝1，2，3时，通项公式成立.

②假设当n＝k（k≥3，k∈N）时，通项公式成立，

即ak＝－.

由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，

将ak＝－代入上式，整理得

＋2ak＋1－2＝0，

∴ak+1＝－，

即n＝k＋1时通项公式成立.

根据①②可知，对所有n∈N，an＝－成立.

【点睛】

本题考查了通过数列前几项的值，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明猜想，属于基础题.

【解析】

9．【答案】试题分析：（Ⅰ）利用已知条件可得，然后结合基本不等式可证；

（Ⅱ）利用数学归纳法进行证明.

【详解】

证明：（Ⅰ）当k＝1时，有，即，，

∵，数列为正实数列，

由基本不等式1，∴，

∴a1+a2≥2.

（Ⅱ）用数学归纳法：

由（Ⅰ）得n＝2时，a1+a2≥2，不等式成立；

假设当n＝k（k≥2）时，a1+a2++ak≥k成立；

则当n＝k+1时，a1+a2++ak+ak+1≥k，

要证kk+1，即证1，

即为kak≥ak2+k﹣1，即为（ak﹣1）（k﹣1）≥0，

∵k≥2，∴k﹣1≥1，当ak﹣1≥0时，a1+a2++ak+ak+1≥k+1，

∴对于每个正整数n≥2，均有a1+a2++an≥n．

当0＜ak＜1时，

∵对于每个正整数k，均有，

∴，则，

a1+a2++an+an+1an+1n﹣1+2＝n+1.

综上，对于每个正整数n≥2，均有a1+a2++an≥n．

【点睛】

本题主要考查数学归纳法在数列问题中的应用，明确数学归纳法的使用步骤是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.

【解析】

10．【答案】（1），，，；（2），证明见解析.

试题分析：（1）由题意得，由求得，同理求得，．

（2）由（1）猜想；用数学归纳法证明，检验时，猜想成立；假设，则当时，由条件可得当时，也成立，从而证明猜想成立．

详解：（1），，，

（2）猜想

证明：①当时，左边，右边，猜想成立

②假设当时猜想成立

即

那么当时

因此对也成立；

根据①②对于猜想成立.

【点睛】

本题主要考查数学归纳法的应用，用归纳法证明数学命题时的基本步骤：①检验成立；②假设时成立，由成立推导成立，要注意由归纳假设到检验的递推．

【解析】

11．【答案】试题分析：根据数学归纳法的步骤即可证明．

详解：（1）当时，左边＝，右边＝，不等式成立；

（2）假设当时，原不等式成立，即，

当时，

∵

∴．即，

所以，当时，不等式也成立．

根据（1）和（2）可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立．

【点睛】

本题主要考查利用数学归纳法证明和正整数有关的命题，属于基础题．

【解析】

12．【答案】（1），，；，，；（2），证明见解析.

【解析】分析：（1）将直线，曲线方程联立，由即可求得，由垂直关系可得直线方程，令即可求得坐标，依次类推即可求得结果；

（2）由（1）可归纳出；设，，由直线方程可求得坐标，由直线斜率为可推导得到递推关系式；根据递推关系式，利用数学归纳法即可证得结论.

详解：（1）由得：，即；

直线方程为：，即，

令，解得：，；

直线方程为：，由得：，即；

直线方程为：，即，

令，解得：，；

直线方程为：，

由得：，即；

直线方程为，即，

令，解得：，；

（2）由（1）猜想的坐标为，

设，，则直线的方程为：，

令，解得：，，

直线的斜率为，即，即，

，

用数学归纳法证明的坐标如下：

①当时，满足；

②假设当时，成立，

那么当时，由得：

，解得：，

即当时，成立；

综上所述：.

【点睛】

方法点睛：数学归纳法证明与有关的式子的基本步骤如下：

①当时，验证所证式子成立；

②假设当时，所证式子成立；

③利用②中假设成立的式子，证明当时，所证式子成立；

④综合上述结果即可得到结论.

13．【答案】见解析

试题分析：根据数学归纳法证明的步骤进行证明即可.

详解：证明：①当时，左边，右边，等式成立；

②假设当时等式成立，

即.

那么，

即当时等式也成立.

由①②知，等式对任何都成立.

【点睛】

本题考查了利用数学归纳法证明有关数列的命题，属于基础题.

【解析】

14．【答案】

【解析】观察发现：第1行，1个数，最右边的数是1；第2行，2个数，最右边的数是；

第3行，3个数，最右边的数是；第4行，4个数，最右边的数是

由此可以得到结论．

详解：第1行，1个数，最右边的数是1，

第2行，2个数，最右边的数是，

第3行，3个数，最右边的数是，

第4行，4个数，最右边的数是，

归纳得出：第行，个数，最右边的数是.

故答案为：，

【点睛】

本题考查数列在数阵中的应用，考察不完全归纳法的应用，属于中档题．

15．【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）．的几何意义表示函数的图象与轴，及直线和所围曲线梯形的面积．

试题分析：（1）第个矩形的高为，面积易得；

（2）用数学归纳法证明；由此等式可求得．

（3）根据极限的性质求极限．

详解：（1）由题意第个矩形的高是，∴；

（2）(i)时，，命题成立，

(ii)设时命题成立，即，

则时，

，

∴时命题成立，

综上，时，命题为真，即，

；

（3）．

的几何意义表示函数的图象与轴，及直线和所围曲线梯形的面积．

【点睛】

本题考查数学归纳法，考查数列的极限，考查有限与无限的思想．本题解题关键是求出．然后按照各知识点计算即可．

【解析】