人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.5 数学归纳法综合训练题

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.5 数学归纳法综合训练题，共17页。试卷主要包含了已知函数满足条件，已知数列满足，，，求证，用数学归纳法证明不等式“，在数列中，，且.，已知数列中，，.等内容，欢迎下载使用。
【名师】5.5 数学归纳法优选练习一．单项选择1．已知函数满足条件：①，②，③，④当时，有．（1）求，，的值；（2）由，，，的值，猜想的解析式；（3）证明你猜想的的解析式的正确性．2．用数学归纳法证明“能被9整除”，在假设时命题成立之后，需证明时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项（    ）能被9整除.A． B． C． D． 3．数列又称黄金分割数列，因为当趋向于无穷大时，其相邻两项中的前项与后项的比值越来越接近黄金分割数.已知数列的递推关系式为.（1）证明：数列中任意相邻三项不可能成等比数列；（2）用数学归纳法证明：数列的通项公式为.4．已知数列满足，，，求证：数列是递增数列.5．用数学归纳法证明不等式“（，）”的过程中，由推导时，不等式的左边增加的式子是（    ）A． B．C． D．6．在数列中，，且.(Ⅰ)求，猜想的表达式，并加以证明；(Ⅱ)设，求证：对任意的自然数，都有；7．用数学归纳法证明“”能被整除”的第二步中时，为了使用假设，应将变形为（    ）A． B．C． D．8．用数学归纳法证明不等式是正整数，，从到变化时，左边增加的项数是（    ）A． B． C． D．9．已知数列中，，.（1）写出的值，猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中你的结论.10．凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为（ ）A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－211．如图所示的数阵，第行最右边的数是_________．12．如图，曲线与直线相交于，作交轴于，作交曲线于，…，以此类推.（1）写出点和的坐标；（2）猜想的坐标，并用数学归纳法加以证明.13．用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N)能被9整除”,要利用归纳假设证明当n=k+1时的情况,只需展开(　　)A．(k+3)3 B．(k+2)3C．(k+1)3 D．(k+1)3+(k+2)314．用数学归纳法证明等式，当时，等式左端应在的基础上加上（    ）A． B． C． D．15．用数学归纳法证明，成立.那么，“当时，命题成立”是“对时，命题成立”的（    ）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
参考答案与试题解析1．【答案】（1），，；（2）；（3）证明见解析.试题分析：（1）利用赋值法，求得，，的值.（2）根据，，，的值，猜想.（3）利用数学归纳法证明猜想正确.详解：（1）依题意，.令得：；令得：；由于且当时，有，所以，即，则.（2）由于，故猜想.（3）①当时，，函数解析式成立；②假设当时，，则当时：（i）若，则.（ii）若，则，，所以.即当时，函数解析式成立.综合①②知，成立.【点睛】本小题主要考查数学归纳法证明，属于难题..【解析】2．【答案】B【解析】假设时命题成立，即能被9整除，计算当时，，即可得解.详解：解：假设时命题成立，即能被9整除，当时，能被9整除要证上式能被9整除，还需证明也能被9整除故选：【点睛】本题考查数学归纳法，数学归纳法是证明一个与自然数集相关的性质，其步骤为：设是关于自然数的命题，若（奠基）在时成立；（归纳） 在为任意自然数）成立的假设下可以推出成立，则对一切自然数都成立．3．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.试题分析：（1）利用反证法进行证明，假设存在．．三项成等比数列，可得出，根据定义得出，可得出，可求得的值，再由为有理数可推出矛盾，从而可得出结论成立；（2）利用数学归纳法证明数列的通项公式，先验证．时成立，再假设当时，结论成立，再由通过计算得出，由数学归纳法可得出结论成立.详解：（1）证明：（反证法）假设存在．．三项成等比数列，则，所以，所以，解得，由条件可知数列的所有项均大于，所以，又数列的所有项均为整数，所以应该为有理数，这与（无理数）矛盾，所以假设不成立，所以原命题成立；（2）证明：①易验证．时命题成立.②假设时命题成立，即，则当时，.所以，时，命题也成立.由①②可知，数列的通项公式为.【点睛】本题考查等比数列的证明，同时也考查了利用数学归纳法证明数列的通项公式，考查推理能力，属于中等题.【解析】4．【答案】证明见解析.试题分析：若，要证是递增数列．即证对任意成立，然后利用数学归纳法的证明步骤证明即可．详解：证明：若，要证是递增数列.即，即证对任意成立.下面用数学归纳法证明：当时，对任意成立.①当时，，结论成立②假设当（，）时结论成立，即因为函数在区间内单调递增，所以，∴当时，成立.由①，②知，对任意，成立.因此，，即是递增数列.【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数学归纳法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．【解析】5．【答案】D【解析】把用替换后两者比较可知增加的式子．详解：当时，左边，当时，左边，所以由推导时，不等式的左边增加的式子是，故选：D.【点睛】本题考查数学归纳法，掌握数学归纳法的概念是解题基础．从到时，式子的变化是数学归纳法的关键．6．【答案】（1），；猜想，证明见解析.（2）见解析.试题分析：【详解】（1）容易求得：，--故可以猜想，下面利用数学归纳法加以证明：（i）显然当时，结论成立，-（ii）假设当；时（也可以），结论也成立，即，-那么当时，由题设与归纳假设可知：即当时，结论也成立，综上，对,成立．（2）-所以-所以只需要证明（显然成立）所以对任意的自然数，都有【解析】7．【答案】B【解析】根据数学归纳法的证明过程，结合题意，即可容易判断选择.详解：根据数学归纳法，当时，应将变形为，此时，和都可以被3整除.故该变形是合理的.故选：.【点睛】本题考查数学归纳法证明整除问题，属基础题.8．【答案】A【解析】根据和时不等式左边的形式可确定增加的项数.详解：当时，不等式左边为：；当时，不等式左边为：；左边增加的项数为：.故选：.【点睛】本题考查数学归纳法的应用，关键是明确不等式左侧的变化特点，属于基础题.9．【答案】（1），，，猜想（2）见解析试题分析：（1）依递推公式计算，并把各分子都化为3，可归纳出；（2）用数学归纳法证明即可．详解：解：（1），，∴，，，猜想（2）用数学归纳法证明如下：①当时，由知猜想成立；②假设时，猜想成立，即则∴时，猜想成立，根据①②可知，猜想对一切正整数都成立.【点睛】本题考查归纳推理，考查数学归纳法，属于基础题．在用数学归纳法证明时，在证明时的命题时一定要用到时的归纳假设，否则不是数学归纳法．【解析】10．【答案】C【解析】凸多边形边数增加1条，即增加一个顶点，自这一顶点向其它不相邻的k-2个顶点可引k-2条对角线，原来一条边变为对角线，所以共增加k-1条，故选C．考点：本题主要考查数学归纳法的概念及方法步骤，多边形．点评：简单题，注意认真分析图形的变化．11．【答案】【解析】观察发现：第1行，1个数，最右边的数是1；第2行，2个数，最右边的数是；第3行，3个数，最右边的数是；第4行，4个数，最右边的数是由此可以得到结论．详解：第1行，1个数，最右边的数是1，第2行，2个数，最右边的数是，第3行，3个数，最右边的数是，第4行，4个数，最右边的数是，归纳得出：第行，个数，最右边的数是.故答案为：，【点睛】本题考查数列在数阵中的应用，考察不完全归纳法的应用，属于中档题．12．【答案】（1），，；，，；（2），证明见解析.【解析】分析：（1）将直线，曲线方程联立，由即可求得，由垂直关系可得直线方程，令即可求得坐标，依次类推即可求得结果；（2）由（1）可归纳出；设，，由直线方程可求得坐标，由直线斜率为可推导得到递推关系式；根据递推关系式，利用数学归纳法即可证得结论.详解：（1）由得：，即；直线方程为：，即，令，解得：，；直线方程为：，由得：，即；直线方程为：，即，令，解得：，；直线方程为：，由得：，即；直线方程为，即，令，解得：，；（2）由（1）猜想的坐标为，设，，则直线的方程为：，令，解得：，，直线的斜率为，即，即，，用数学归纳法证明的坐标如下：①当时，满足；②假设当时，成立，那么当时，由得：，解得：，即当时，成立；综上所述：.【点睛】方法点睛：数学归纳法证明与有关的式子的基本步骤如下：①当时，验证所证式子成立；②假设当时，所证式子成立；③利用②中假设成立的式子，证明当时，所证式子成立；④综合上述结果即可得到结论.13．【答案】A【解析】假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．14．【答案】B【解析】写出和时的两式，然后比较可得．详解：时等式为，时等式为，当时，等式左端应在的基础上加上，故选：B．【点睛】本题考查数学归纳法，数学归纳法的关键．难点就在于用的假设结论证明的的结论，因此观察出与之间式子的关系至关重要．15．【答案】B【解析】根据必要不充分条件的定义可得结论.详解：“当时，命题成立”不能推出“对时，命题成立”，“对时，命题成立”可以推出“当时，命题成立”，所以“当时，命题成立”是“对时，命题成立”的必要不充分/故选：B【点睛】本题考查了必要不充分条件的概念，关键是掌握必要不充分条件的概念，属于基础题.