数学2.2 一元二次方程的解法测试题

第2章　一元二次方程

2.2　一元二次方程的解法

第4课时　用公式法解一元二次方程

基础过关全练

知识点1　一元二次方程的根的判别式

1.(2022浙江宁波慈溪期末)下列一元二次方程中,没有实数根的是 (　　)

A.x2-2 021x=0　　　　B.(x+1)2=0

C.x2+2=3x　　　　   D.x2+4=2x

2.关于方程x2-2x+3=0的根的情况,下列说法中正确的是 (　　)

A.有两个相等的实数根

B.没有实数根

C.有两个不相等的实数根

D.有两个正实数根

3.(2022浙江温州中考)若关于x的方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根,则c的值是              (　　)

A.36　　　　         B.-36

C.9　　　　          D.-9

4.如果关于x的方程2x2+3x-k=0没有实数根,那么k的取值范围是　　　　. 

5.(2022江苏泰州中考)关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m的值为　　　　. 

知识点2　用公式法解一元二次方程

6.(2022四川峨眉山期末)用公式法解方程x2+x=2时,求根公式中的a,b,c的值分别是              (　　)

A.1,1,2　　　         B.1,-1,-2

C.1,1,-2　　　　       D.1,-1,2

7.(2022湖北武汉期末)若x=是某个一元二次方程的根,则这个一元二次方程可以是              (　　)

A.3x2+2x-1=0　　　　B.2x2+4x-1=0

C.-x2-2x+3=0　　　 　D.3x2-2x-1=0

8.方程x2+x-1=0的根是 (　　)

A.1-

C.-1+

9.方程7x2-6x-5=0的解为　　　　　　　　　　　　. 

10.解方程:

(1)x2+4x=1;　　　　(2)3x2-7x+4=0.

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11.一元二次方程x2+2x-6=0的根是 (　　)

A.x1=x2=

B.x1=0,x2=-2

C.x1=,x2=-3

D.x1=-,x2=3

12.若x=-2是关于x的一元二次方程x2-ax+a2=0的一个根,则a的值为 (　　)

A.1或4　　　　

B.-1或-4

C.-1或4　　　　

D.1或 -4

13.【学科素养·运算能力】定义运算:m※n=2m2+m-n,例如:1※2=2×12+1-2=1,则方程x※2=0的根的情况为              (　　)

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.无实数根

D.无法确定

14.【学科素养·推理能力】若正数a是关于x的一元二次方程x2-5x+m=0的一个根,-a是关于x的一元二次方程x2+5x-m=0的一个根,则a的值是　　　　. 

15.【学科素养·推理能力】已知关于x的方程x2+ax+a-2=0.

(1)若该方程的一个根为1,求a的值及该方程的另一个根;

(2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.

16.【代数推理】已知a,b,c均为实数,且+|b+1|+(c+3)2=0,求关于x的方程ax2+bx+c=0的根.

17.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a、b、c分别为△ABC的三边的长.

(1)如果x=-1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;

(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;

(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.

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18.【运算能力】小明在用公式法解方程x2-5x=2时出现了错误,解答过程如下:

∵a=1,b=-5,c=2,(第一步)

∴b2-4ac=(-5)2-4×1×2=17,(第二步)

∴x=,(第三步)

∴x1=,x2=.(第四步)

(1)小明的解答过程是从第　　　　步开始出错的,其错误的原因是　　　　　　　　　　　　. 

(2)请你写出此题正确的解答过程.

答案全解全析

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1.D　x2-2 021x=0的根为x1=0,x2=2 021;

(x+1)2=0的根为x1=x2=-1;x2+2=3x,移项,得x2-3x+2=0,

解得x1=1,x2=2;x2+4=2x,移项,得x2-2x+4=0,

(-2)2-4×1×4=-12<0,

所以它没有实数根,故选D.

2.B　方程x2-2x+3=0中,a=1,b=-2,c=3,b2-4ac=(-2)2-4×1×3=4-12=-8<0,∴方程没有实数根.

3.C　∵关于x的方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根,∴62-4c=0,解得c=9.

4.k<-

解析　因为关于x的方程2x2+3x-k=0没有实数根,

所以32-4×2×(-k)<0,解得k<-.

5.1

解析　∵关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根,

∴(-2)2-4×1·m=0,解得m=1.

6.C　方程x2+x=2,移项,得x2+x-2=0,

所以用公式法解方程x2+x=2时,求根公式中的a=1,b=1,c=-2,故选C.

7.D　∵x=是某个一元二次方程的根,∴这个一元二次方程的二次项系数是3,一次项系数是-2,常数项是-1,∴这个一元二次方程可以是3x2-2x-1=0,故选D.

8.D　在方程x2+x-1=0中,∵a=1,b=1,c=-1,

∴b2-4ac=12-4×1×(-1)=5>0,∴x=.

9.x1=,x2=

解析　∵a=7,b=-6,c=-5,

∴b2-4ac=36-4×7×(-5)=176>0,

∴x=,

∴x1=,x2=.

10.解析　(1)整理得x2+4x-1=0,

其中a=1,b=4,c=-1.

∴b2-4ac=16-4×1×(-1)=20>0,

∴x=,

解得x1=-2+,x2=-2-.

(2)方程3x2-7x+4=0中,a=3,b=-7,c=4,

∴b2-4ac=(-7)2-4×3×4=49-48=1>0,

∴x=,解得x1=,x2=1.

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11.C　方程x2+2x-6=0中,a=1,b=2,c=-6,

∴b2-4ac=32>0,∴x=,

∴x1=,x2=-3.故选C.

12.B　∵x=-2 是关于x的一元二次方程x2-ax+a2=0的一个根,

∴4+5a+a2=0,

解得a1=-1,a2=-4,故选B.

13.A　∵x※2=2x2+x-2=0,∴a=2,b=1,c=-2,

∴b2-4ac=12-4×2×(-2)=1+16=17>0,

∴方程有两个不相等的实数根.故选A.

14.5

解析　将x=a代入方程x2-5x+m=0中,得a2-5a+m=0①;

将x=-a代入方程x2+5x-m=0中,得a2-5a-m=0②.

①+②,得2a2-10a=0,即a2-5a=0,

解得a=0或a=5.∵a是正数,∴a=5.

故答案为5.

15.解析　(1)∵该方程的一个根为1,

∴1+a+a-2=0,

∴a=,将a==0,

即(x-1)=0,∴x1=1,x2=-.

(2)在x2+ax+a-2=0中,

∵a2-4(a-2)=a2-4a+8=(a-2)2+4>0,

∴不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.

16.解析　∵+|b+1|+(c+3)2=0,≥0,

|b+1|≥0,(c+3)2≥0,∴

∴关于x的方程为2x2-x-3=0,

利用公式法解得x1=,x2=-1.

17.解析　(1)△ABC是等腰三角形.

理由:把x=-1代入原方程,得a+c-2b+a-c=0,所以a=b,故△ABC是等腰三角形.

(2)△ABC是直角三角形.

理由:因为方程有两个相等的实数根,所以(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,所以b2-a2+c2=0,所以a2=b2+c2,故△ABC是直角三角形.

(3)如果△ABC是等边三角形,那么a=b=c,所以方程可化为2ax2+2ax=0,所以2ax(x+1)=0,所以方程的解为x1=0,x2=-1.

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18.解析　(1)小明的解答过程是从第一步开始出错的,其错误原因是方程没有化成一般式.

故答案为一;方程没有化成一般式.

(2)方程化为x2-5x-2=0,

∵a=1,b=-5,c=-2,

∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(-2)=33.

∴x=,x2=.