高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.1.2 数列中的递推课后测评

【优质】5.1.2 数列中的递推课时练习

一．单项选择

1．若数列{an}满足a1＝3，an＝3an﹣1+3n（n≥2），则数列{an}的通项公式an＝（    ）

A．2×3n B． C．n3n D．

2．定义表示不超过的最大整数，若数列的通项公式为，则满足等式（    ）

A．30 B．29 C．28 D．27

3．设函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．若数列满足，，则（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

5．数列满足，，，，当T取最小值时，该数列的前2021项的和是（    ）

A．673 B．674 C．1347 D．1348

6．已知数列满足，(，)，则数列的通项（    ）

A． B．

C． D．

7．数列的首项，且，则（    ）

A． B． C． D．

8．“天支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲．乙．丙．丁．戊．己．庚．辛．壬．癸被称为“十天干”，子．丑．寅．卯．辰．巳．午．未．申．酉．戌．亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子．乙丑．丙寅．癸酉．甲戌．乙亥．丙子．．癸未．甲申．乙酉．丙戌．．癸巳，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2016年是“干支纪年法”中的（    ）

A．丙申年 B．丙午年 C．甲辰年 D．乙未年

9．已知数列的前项和为，且，则的值为（    ）

A．7 B．13 C．28 D．36

10．已知数列的前项和，则等于（     ）

A．68 B．36 C．24 D．18

11．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝，则a4＝（    ）

A． B．1

C． D．

12．已知数列，则是这个数列的（    ）

A．第项 B．第项 C．第项 D．第项

13．数列1，0，1，0，的一个通项公式为（    ）

A． B．

C． D．

14．某数列前10项是，按此规律推理，该数列中奇数项的通项公式可以是（    ）

A． B． C． D．

15．已知数列满足，则的值所在范围是（    ）

A． B． C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】C

【解析】分析：由递推关系求得，结合选项一一代入检验排除即可得结果．

详解：由an＝3an﹣1+3n（n≥2），当时，

对于A，，故A错；

对于B，，，故B错；

对于C，，，

对于D，，故D错，

故选：C

2．【答案】D

【解析】分析：由题意，直接求解即可.

详解：因为，所以，

所以；；；；；；；；；；

所以.

故选：D

【点睛】

数学中的新定义题目解题策略：

(1)仔细阅读，理解新定义的内涵；

(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.

3．【答案】C

【解析】分析：本题首先可根据题意得出，然后根据数列是递增数列得出不等式组，最后通过计算即可得出结果.

详解：因为，，

所以，

因为数列是递增数列，

所以，解得，即.

故选：C.

【点睛】

关键点睛：本题考查了分段函数以及递增数列的综合应用，主要考查了分段函数的单调性，若分段函数为增函数，关键是函数在各段上均为增函数，且满足前一段的最大值小于或等于后一段的最小值，本题需要额外注意.

4．【答案】C

【解析】根据数列的递推关系，逐步求解，得到答案.

详解：因为，，

所以，，.

故选：C.

【点睛】

本题考查根据数列递推公式求数列中的项，属于简单题.

5．【答案】D

【解析】分析：就分类讨论，分析对应的周期数列是否存在，确认后利用周期性可求该数列的前2021项的和.

详解：若，则为常数列，故，此时，故舍去.

若，则，故，故或（舍）.

故，但，故舍去.

若，则，，，

若，则且，

整理得到，解得.

若，则且，

整理得到，无解.

又当时，有，，，，，

此时确为周期为3的周期数列.

该数列的前2021项的和为，

故选：D

【点睛】

思路点睛：对于周期数列的问题，一般可以利用特值法结合给定的周期计算参数的值，根据所得的值再检验是否为周期数列，也可以利用函数周期的推导方法进行推导其周期.

6．【答案】A

【解析】分析：直接利用累乘法的应用求出数列的通项公式．

详解：解：数列满足，，

整理得，，，，

所有的项相乘得：，

整理得：，

故选：．

7．【答案】A

【解析】分析：首先根据递推公式列出数列的前几项，再找出数列的周期性，即可得解；

详解：解：因为，且，所以，，，，，，所以数列是以为周期的周期数列，所以

故选：A

8．【答案】A

【解析】分析：按照题中规律依次从2021年倒推，列举到2016年，即可得到答案.

详解：依题意，甲．乙．丙．丁．戊．己．庚．辛．壬．癸被称为“十天干”，

子．丑．寅．卯．辰．巳．午．未．申．酉．戌．亥叫做“十二地支”．

2021年是辛丑年，2020年为庚子，2019年是己亥年，2018年是戊戌年，2017年是丁酉年，2016年是丙申年.

故选：A.

【点睛】

关键点点睛:本题的解题关键在于根据题意理解“干支纪年法”的定义，根据规律突破难点即可.

9．【答案】B

【解析】分析：根据之间的关系，可得，简单计算可得结果.

详解：由题可知：

则

故选：B.

【点睛】

本题主要考查之间的关系，掌握，属基础题.

10．【答案】A

【解析】分析：由直接求解即可

详解：解：因为数列的前项和，

所以，

故选：A

11．【答案】A

【解析】分析：依题意得－＝，得数列是以＝为首项，为公差的等差数列，由此根据等差数列的通项公式可得选项.

详解：解：依题意得＝＝＋，－＝，故数列是以＝为首项，为公差的等差数列，则＝＋＝，an＝，所以a4＝．

故选：A.

【点睛】

方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：

（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式，或进行求解；

（2）前n项和法：根据进行求解；

（3）与的关系式法：由与的关系式，类比出与的关系式，然后两式作差，最后检验出，是否满足用上面的方法求出的通项；

（4）累加法：当数列中有，即第n项与第n？1项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；

（5）累乘法：当数列中有，即第n项与第n？1项商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；

（6）构造法：①一次函数法：在数列中，（k．b均为常数，且k≠1，k≠0）.

一般化方法：设，得到 可得出数列 是以k的等比数列，可求出；

②取倒数法：这种方法适用于（k．m．p为常数，m≠0），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于的式子；

（7）（b．c为常数且不为零，）型的数列求通项，方法是在等式的两边同时除以，得到一个型的数列，再利用（6）中的方法求解即可.

12．【答案】C

【解析】分析：先根据数列得到通项公式，再由解得n即可.

详解：数列，即，故通项公式为，

由，解得，即是这个数列的第项.

故选：C.

13．【答案】C

【解析】分析：分别写出每个选项的数列的前四项，对比即可.

详解：对于A，的前4项为-1,1，-1,1，不符合条件；

对于B，的前4项为0,2，0,2，不符合条件；

对于C，的前4项为1,0，1,0，符合条件；

对于D，的前4项为0,2，0,2，不符合条件；

故选：C

14．【答案】B

【解析】分析：取特殊值代入利用排除法即可求解结论．

详解：解：因为第一项为0，故D错；

第三项为4，故AC错；

故选：B．

15．【答案】B

【解析】分析：已知等式变形为，用累加法有，

可得，，

再变形为，由放缩法得，用累加法得．从而可得结论．

详解：由已知得，，

所以

，

，所以，

由得，，

累加可得，所以，

所以．

故选：B．