高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.3.2 等比数列的前 n项和巩固练习

【特供】5.3.2 等比数列的前n项和练习

一．单项选择

1．已知等比数列前项和满足（），数列是递增的，且，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

2．已知数列是等比数列，则“，是方程的两根”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

3．己知，，既成等差数列又成等比数列，二次函数的图像与直线交于不同两点，，则（    ）

A． B． C． D．

4．设等比数列的公比为，若，则（    ）

A． B．2 C． D．－2

5．已知数列为等比数列，给出下列结论：

①；

②若，，则；

③当时，；

④当时，.

其中所有正确结论的编号是（    ）

A．①②③ B．②④ C．①④ D．①③

6．设是公比为的等比数列，且．若为递增数列，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

7．如图，“数塔”的第行第个数为(其中，，且).将这些数依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，记作数列，设的前项和为.若，则（    ）

A．46 B．47 C．48 D．49

8．已知数列为等比数列，，，则（    ）

A． B． C． D．

9．若等比数列满足，则（    ）

A． B． C． D．

10．等差数列公差为，且满足，，成等比数列，则（      ）

A． B．1 C．3 D．2

11．设为正整数，则“数列为等比数列”是“数列满足”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

12．若1，，，，4成等比数列，则（    ）

A．16 B．8 C． D．

13．已知数列的前项和为，且().记，为数列的前项和，则使成立的最小正整数为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

14．等比数列中，则（    ）

A． B． C． D．

15．已知正项数列满足：，设，则（    ）

A． B． C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】C

【解析】分析：由等比数列前项和满足，分别求出前3 项，利用等比数列中，求出，再根据数列是递增的，且，利用中求出实数的取值范围

详解：解：因为等比数列前项和满足（），

所以，

，

，

因为等比数列中，

所以，解得或（舍去），

所以，

因为数列是递增的，

所以，

所以，

因为，所以，

故选：C

2．【答案】D

【解析】分析：根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质进行判断即可.

详解：因为，是方程的两根，

所以，，得，所以，

所以“，是方程的两根”是“”的既不充分又不必要条件.

故选：D.

3．【答案】C

【解析】分析：由，，既成等差数列又成等比数列，可求得，所以二次函数为（），则对称轴为，再由，两点关于对称轴对称可求得答案

详解：解：因为，，既成等差数列又成等比数列，

所以，且，

所以，化简得，得，

所以，

所以二次函数为（），

所以抛物线的对称轴为，

因为二次函数的图像与直线交于不同两点，，

所以，

故选：C

4．【答案】A

【解析】分析：用表示出后可解得．

详解：因为，所以，解得．

故选：A．

5．【答案】D

【解析】分析：根据等比数列的性质可判断①； 由可判断②；由，结合均值不等式可判断③；当时，④不成立.

详解：设等比数列的公比为

对于①. 则，

所以，故①正确.

对于②. 由题意，所以不正确，所以②不正确.

对于③.

当且仅当时，取得等号. 故③正确

对于④. 当时，，则，故④不正确

故选：D

6．【答案】C

【解析】分析：根据等比数列的性质可知：当且是递增数列时，．

详解：解：，且是递增数列，

；又，，即．

故选：C．

7．【答案】C

【解析】分析：根据“数塔”的规律，可知第行共有个数，利用等比数列求和公式求出第行的数字之和，再求出前行的和，即可判断取到第几行，再根据每行数字个数成等差数列，即可求出；

详解：解：“数塔”的第行共有个数，其和为，所以前行的和为

故前行所有数学之和为，因此只需要加上第10行的前3个数字1,2,4，其和为，易知“数塔”前行共有个数，所以

故选：C

8．【答案】A

【解析】分析：设等比数列的公比为，由已知条件可得出关于．的方程组，即可解得的值.

详解：设等比数列的公比为，由已知可得，解得.

故选：A.

9．【答案】A

【解析】分析：设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式建立方程组，解之可得选项.

详解：设等比数列的公比为q，则，所以，又，

所以，

故选：A.

10．【答案】A

【解析】分析：根据等差数列的基本量的计算，结合等比中项的概念，列式化简即可得解.

详解：根据题意可得：，

所以，

由，解得，

所以.

故选：A

11．【答案】A

【解析】分析：“数列为等比数列”，则，数列满足．反之不能推出，可以举出反例．

详解：解：“数列为等比数列”，则，数列满足．充分性成立；

反之不能推出，例如，数列满足，但数列不是等比数列，即必要性不成立；

故“数列为等比数列”是“数列满足”的充分非必要条件

故选：A．

12．【答案】B

【解析】分析：根据1，，，，4成等比数列，利用等比中项求解.

详解：因为1，，，，4成等比数列，

，

，(负不合题意，奇数项符号相同)，

则，

故选：B.

13．【答案】C

【解析】分析：根据之间的关系证明为等比数列，然后再证明也是等比数列，由此求解出.根据不等式结合指数函数单调性求解出的取值范围，从而确定出的最小整数值.

详解：解析：由，可知，

∴，即.

时，，∴，∴，∴，

∴数列是以1为首项，以为公比的等比数列.

∴.又，

∴数列是以为首项，以为公比的等比数列.

∴.

又，∴，即，

∴.又，∴的最小值为7.

故选：C.

14．【答案】D

【解析】分析：根据等比中项的性质求解即可.

详解：因为数列是等比数列，

所以成等比数列，

则，

由于所以，

故选：D.

15．【答案】D

【解析】分析：利用进行放缩，然后再逐项分析即可.

详解：，

设，，令，得，易得

所以，所以，即

所以，

若，则，与矛盾，所以A错

若，则，由得

由，即得

由，即得

所以可以推出，与矛盾，所以B错

又因为

所以

因为，所以

故选：D.