人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.1.2 数列中的递推随堂练习题

【精编】5.1.2 数列中的递推-1课时练习

一．填空题

1．将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则其通项___________.

2．数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他写的《算盘全书》提出的，该数列的特点是：从第三起，每一项都等于它前面两项的和．在该数列的前2021项中，奇数的个数为__________．

3．请写出一个符含下列要求的数列的通项公式：①为无穷数列；②为单调递增数列；③.这个数列的通项公式可以是______.

4．已知数列满足：，，，则______．

5．设为数列的前项和，且，，则______.

6．已知数列满足：，，且，，，当取最小值时，__________．

7．数列满足，，则_____

8．在数列中，是它的第_______项．

9．若数列满足：，，则______.

10．已知数列，，且，则______．

11．已知数列满足，且．则

（1）______；

（2）数列的最大项为第______项．

12．在数列，，，则_______．

13．已知数列（）满足，且，则通项公式________.

14．若，则___________．

15．已知数列满足，且，则_______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：经检验，数列中的偶数项都是数列中的项，观察归纳可得.

详解：数列中的项为：2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256，

经检验，数列中的偶数项都是数列中的项.

即，，，256， 可以写成的形式，观察，归纳可得.

故答案为：.

2．【答案】1348

【解析】分析：根据斐波那契数列的特点：从第一项起，每三个数一组其中有2个奇数1个偶数，即可求前2021项中奇数的个数.

详解：由斐波那契数列的特点知：从第一项起，每3个数中前两个为奇数后一个偶数，

∵的整数部分为，余数为，

∴该数列的前2021项中共有个偶数，奇数的个数为.

故答案为：

3．【答案】.

【解析】分析：数列是特殊的函数，利用函数的性质可得答案.

详解：因为函数的定义域为，且在上单调递增，，

所以满足3个条件的数列的通项公式可以是，

故答案为：.

4．【答案】

【解析】分析：根据递推关系得，故，进而根据递推关系即可得答案.

详解：因为，，

所以，

所以，，

所以，

即．

故答案为：

【点睛】

本题考查递推数列求通项公式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据已知递推关系得，进而利用递推关系即可得答案.

5．【答案】54

【解析】分析：由依递推式依次求出．

详解：由已知，，，，

所以.

故答案为：54.

6．【答案】

【解析】分析：设，由已知递推关系式可化简得到，由此确定，知为等差数列，由等差数列通项公式求得，进而得到，由二次函数的性质可确定结果.

详解：由得：，

设，则，，

又，，

数列是以为首项，为公差的等差数列，，

，又，

由二次函数性质知：当时，取得最小值.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题考查根据数列递推关系求解通项公式的问题，解题关键是能够将已知递推关系式变形得到，由此构造出等差数列的形式.

7．【答案】

【解析】根据，利用累加法求数列的通项公式.

详解：因为，

所以，

所以，

，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查累加法求数列的通项公式，属于中档题.

8．【答案】6

【解析】根据题意，可得数列的通项公式，进而解＝可得的值，即可得答案．

详解：根据题意，数列中，其通项公式，

令＝，解得，即是数列的第6项.

故答案为：6

【点睛】

本题考查数列的表示方法，注意数列通项公式的定义，属于基础题．

9．【答案】5

【解析】分析：判断出周期，从而求得.

详解：由得，

所以，

，

，

所以是以为周期的周期数列，

所以.

故答案为：

10．【答案】

【解析】分析：首先根据题意得到，再根据求解即可.

详解：

.

故答案为：

11．【答案】    5 

【解析】分析：（1）直接由递推公式由求，再求；

（2）先由递推公式求出通项公式，得到数列的通项公式，列不等式求出最大项时的项数.

详解：（1）因为，，所以；

（2）因为，

所以，

所以，

设数列的第k项最大，则有：

，即，

解得：.

因为，所以k=5

所以第5项最大.

故答案为：；5.

【点睛】

求数列最大（小）项的方法：

（1）单调性法：利用函数单调性求出数列最大（小）项；

（2）不等关系法：利用数列最大项比前一项大，也比后一项也大的特点，可以根据数列的通项公式来列不等式组进行计算.

12．【答案】9899

【解析】分析：用累加法直接求解即可.

详解：在数列，，，所以

累加得：，

所以9899

故答案为：9899

13．【答案】

【解析】由，得，再由累乘法求，注意验证时是否成立.

详解：由，得当时，.

,

以上各式两端分别相乘，得

,

即，

，

.

又，适合上式.

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查由递推关系式求数列的通项公式，属于中档题.由求数列的通项公式时，一般用累乘法求解，注意验证时是否成立.

14．【答案】

【解析】根据趋势得，再化简即可得极限.

详解：因为，所以

故答案为：

【点睛】

本题考查数列极限，考查基本分析求解能力，属基础题.

15．【答案】212

【解析】分析：利用分类讨论思想，分析为奇数和偶数的情况，由此得到之间的递推关系，然后根据递推关系以及等差数列的求和公式求解出的值.

详解：当为奇数时，设，所以，

当为偶数时，设，所以，

所以，所以，

所以

所以，所以，

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：解答本题的关键在于根据的取值特点采用对分奇偶讨论的方法，通过递推关系确定出奇数项之间的联系.