高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.1.2 数列中的递推达标测试

【名师】5.1.2 数列中的递推-1课时练习

一．填空题

1．数列中的x是______________.

2．已知数列的首项，前n项和为，且满足，则___________.

3．已知数列．满足：，，且，，若数列中存在某一项的值在该数列中重复出现无数次，在的取值范围为___________.

4．数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即．．．．．．．．．．．．．，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用.已知斐波那契数列满足：，，，若则__________

5．若数列满足，，，且，则______．

6．若数列满足，，且，则______.

7．数列1,2,，，，中的第26项为________．

8．数列{an}的前n项和为Sn，若(n∈N)，，则=___________.

9．已知数列的前n项和公式，则其通项公式________.

10．已知数列的通项公式为，前n项和为，则当取得最小值时n的值为_______．

11．已知正整数数列满足则当时，______．

12．若数列满足，若恒成立，则的最大值是______

13．已知数列对任意的满足，若，则__________.

14．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_______.

15．已知数列满足，（），则______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据数列的项找到规律，由此确定的值.

详解：依题意可知，数列满足，

所以.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查根据数列的项找规律，属于基础题.

2．【答案】

【解析】分析：直接利用递推公式求出.

详解：∵，

∴当n=1时，，∴，

当n=2时，，∴，

当n=3时，，∴.

故答案为：

3．【答案】．．．．

【解析】分析：推导出数列是周期为的周期数列，计算得出数列．均是以为公差的等差数列，设，分．．三种情况讨论，分析数列的单调性，可得出关于的不等式，进而可求得的取值范围.

详解：对任意的，有，

且，，，，，.

设，则

，

所以，数列是以公差为的等差数列，

设（其中为常数且），

所以，

，

所以，数列均是以为公差的等差数列，

（其中，，为中的一个常数）.

当时，对任意的，有；

当时，.

①若，则对任意的，有，所以，数列为递减数列；

②若，则对任意的，有，所以，数列为递增数列；

故只需，可满足题意.

因为，，，，，

所以，，，，，，，

解得，，，，.

故答案为：．．．．

【点睛】

关键点点睛：本题考查利用数列的周期性求首项的取值范围，解题的关键在于通过构造新数列，利用数列的单调性得出不等式求解.

4．【答案】60

【解析】分析：利用化简得出，即可得出结果.

详解：由于，则

，

因此，.

故答案为：60.

5．【答案】15

【解析】分析：根据题意整理可得，所以为常数列，令即可得解.

详解：由可得，

两边同除可得，

故数列为常数列，

所以，

所以，解得.

故答案为：15

6．【答案】55

【解析】由已知条件变形可得，然后累乘法可得，即可求出

详解：由得，

.

故答案为：55

【点睛】

本题主要考查了累乘法求数列通项和数列中的项，属于基础题.

7．【答案】

【解析】∵a1＝1＝，a2＝2＝，

a3＝，a4＝，a5＝，

∴an＝，

∴a26＝＝＝2.

8．【答案】

【解析】分析：根据递推关系式列出数列的前几项，即可得数列是以3为周期的数列，从而得解；

详解：解：因为，，所以，，，所以数列是以3为周期的数列，

所以

故答案为：

9．【答案】.

【解析】分析：利用关系式，当时，，当时，，即可求解.

详解：由题意，数列{an}的前n项和公式

当时，，

又由当时，，

所以数列的通项公式为.

故答案为：

10．【答案】5

【解析】分析：解不等式得到项的正负，即可得答案；

详解：当或，

当取得最小值时，即取得最小值，

n的值为.

故答案为：5.

11．【答案】

【解析】分析：根据递推式求出数列的前几项，归纳出数列从第二项起是周期数列，从而可得结论．

详解：由题意，，，，，，…，

数列从第二项起是周期数列，周期为3，

所以，，，

所以

故答案为：．

12．【答案】2

【解析】分析：先求出，再求出的最小值即得解.

详解：由题得（1）

（2）

（1）-（2）得

所以，

适合，所以,

所以数列为递增数列，

所以，

由题得.

所以的最大值是2.

故答案为：2

【点睛】

方法点睛：数列的最值一般利用函数的单调性求解，而数列单调性的判断一般可以通过定义法判断.

13．【答案】16

【解析】分析：根据，，令p=q=1可求得，依次类推可以求出.

详解：∵，∴，，.

故答案为：16.

14．【答案】

【解析】分别讨论为偶数和奇数两种情况，结合不等式的性质，即可得出实数的取值范围.

详解：当为偶数时，由恒成立，得恒成立

又因为，所以

当为奇数时，由恒成立，得恒成立

又因为，所以，即

综上可得实数的取值范围为

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了数列不等式的恒成立问题，属于中档题.

15．【答案】

【解析】根据递推公式计算得到数列周期为，故，得到答案.

详解：，，故，，

，故数列周期为，，故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了根据递推公式计算数列的项，意在考查学生的计算能力和推断能力，确定数列周期为是解题的关键.