人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.1 数列基础5.1.2 数列中的递推同步训练题

【优选】5.1.2 数列中的递推-2课时练习

一．填空题

1．正整数列满足，且对于有，若，则的所有可能取值为________

2．若，则______.

3．设数列满足，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是__________.

4．数列满足：，则通项公式是：= _    ____．

5．在数列中，若，则____．

6．已知函数，数列的通项公式为．当取得最小值时，的所有可能取值集合为______．

7．定义数列，先给出，接着复制该项，再添加1的后继数2，于是，接下来再复制前面所有项，之后再添加2的后继数3，如此继（1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1.．．），设是的前项和，则__.

8．设集合X是实数R的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合X的聚点.集合①；②R除去；③；④Z其中以0为聚点的集合有（    ）．

A．②③ B．①④ C．①③ D．①②

9．已知数列满足，，则______.

10．_______.

11．将连续整数1,2,,25填入如图所示的5行5列的表格中,使每一行的数从左到右都成递增数列,则第三列各数之和的最小值为　　　　,最大值为　　　　.

12．已知数列满足，．数列的通项公式是______．

13．若，则（    ）．

A．0 B． C．1 D．不存在

14．已知数列的前项和为，且，则__________

15．在数列中，已知，则______.

参考答案与试题解析

1．【答案】4．5或32

【解析】由正整数列满足，且对于有，结合,逐步逆推即可得解.

详解：解:因为正整数列满足，且对于有，

由,

则或（舍），

则，

则，，或，，或，，，

即的所有可能取值为4．5或32，

故答案为：4．5或32.

【点睛】

本题考查了数列的递推关系，重点考查了运算能力，属基础题.

2．【答案】4

【解析】将化简成分式分析即可.

详解：由得

故.

故答案为：4

【点睛】

带根式相减的极限通常化简成分式的形式进行分析.

3．【答案】

【解析】由题意得出，由数列是单调递增数列得出，可得，令，求得数列最小项的值，由此可得出实数的取值范围.

详解：，，

由于数列是单调递增数列，则，即，整理得，

令，，

所以，数列单调递增，则数列的最小项为，.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列的单调性求参数的取值范围，考查数列单调性定义的应用，属于中等题.

4．【答案】

【解析】当时,；当时,由可得,以上两式两边相除可得,故应填答案.

考点：数列的递推式及运用．

5．【答案】

【解析】根据递推关系式，依次求得的值.

详解：由于，所以，

.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查根据递推关系式求数列某一项的值，属于基础题.

6．【答案】；

【解析】令，借助导数得出，要使得最小，要尽量接近，令，解出的值，即可得出答案.

详解：令

令，

则函数在上单调递减，在上单调递增

由，，得数列的最小值为，即

要使得最小，要尽量接近

令

解得或

即的所有可能取值集合为

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了确定数列中的最小项，属于中档题.

7．【答案】3990

【解析】设每操作一次形成的数列和为，的前项和为，计算得到，，设每操作一次形成的数列的个数为，前项和为，计算得到，，计算得到答案.

详解：根据题意设每操作一次形成的数列和为，的前项和为，

故，，，，两式相减得到.

即，故是首项为，公比为的等比数列，，

验证时成立，故，.

设每操作一次形成的数列的个数为，其前项和为，故，，

故，相减得到：，故，验证时满足.

，，，，

故.

（括号内是开始的倒数个数）.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了数列的前项和，意在考查学生的计算能力和应用能力.

8．【答案】A

【解析】先理解为集合X的聚点的含义，以0为聚点的集合, 即对任意，都存在，使得，对四个集合逐一分析，

对① ,当时，不存在满足的，不是以0为聚点的集合；

对②，都存在，使得，是以0为聚点的集合；

对③，都存在，使，是以0为聚点的集合；

对④，当时，对任意的，都有或者，

不存在满足的，不是以0为聚点的集合；

详解：① 集合中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，

其余的都至少比0大，∴在的时候，不存在满足的，

∴ 0不是集合的聚点；

② 集合，对任意的，都存在（实际上任意比小的数都可以），使得，∴ 0是集合的聚点；

③ 集合中的元素是极限为0的数列，对于任意的，

存在，使，∴ 0是集合的聚点；

④ 对于某个，比如，此时对任意的，都有或者，也就是说不可能，从而0不是整数集的聚点．

综上可知 ② ③ 正确.

故选：A

【点睛】

本题考查了新文化概念的理解与应用，结合新定义和数列的极限，考查了学生的分析理解与应用能力，是一道难度较大的题目.

9．【答案】

【解析】利用递推公式求出该数列的前4项，从而得出数列为周期为3的周期数列，由此求出的值．

详解：当时，；

当时，；

当时，

数列是以3为周期的周期数列；

；

故答案为：．

【点睛】

本题考查了数列递推式及数列的周期性，考查了学生的推理能力，属于基础题．

10．【答案】

【解析】首先将式子分子和分母分组求和，利用等比数列求和公式，化简，求极限即可.

详解：

，

故答案为：.

【点睛】

该题考查的是有关极限求解问题，涉及到的知识点有等比数列求和公式，极限的求解，属于简单题目.

11．【答案】

【解析】因为第3列前面有两列,共有10个数分别小于第3列的数,因此:最小为:3+6+9+12+15=45.因为第3列后面有两列,共有10个数分别大于第3列的数,因此:最大为:23+20+17+14+11="85."

12．【答案】

【解析】通过与作差．整理可知，利用累乘法计算即得结论．

详解：解：，

当时，

当时，

，

两式相减得：，即，

，

，

，

，

累乘得：，所以，

，

故答案为：

【点睛】

本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．

13．【答案】A

【解析】将各项累乘可得到，再求极限即可.

详解：解: ,

,

故选：A

【点睛】

考查求数列的极限，其关键是先化简整理数列再求极限；基础题.

14．【答案】

【解析】

【分析】

利用通项公式与前项和的关系，由此即可求出结果．

【详解】

当时，；

当时，；

所以.

故答案为：.

15．【答案】

【解析】由递推公式可求，进而可求出.

详解：解：由递推公式可知，，，

，，

故答案为: .

【点睛】

本题考查了由递推公式求数列的中的项，属于基础题.