人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.2 等差数列5.2.1 等差数列课后练习题

【名师】5.2.1 等差数列-3课时练习

一．填空题

1．数列前项和为，则的通项等于______.

2．已知等差数列中，前项和记为，，，则____________.

3．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问： 五人各得几何？”其意思为： 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是______.

4．数列{an}的前n项和为Sn，若则____________ ．

5．已知数列前项和，则该数列的通项公式______.

6．数列1，-2，2，-3，3，-3，4，-4，4，-4，5，-5，5，-5，5，…，的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，…，的有个，则该数列第2020项是__________．

7．等差数列的前项和为，若，，则______.

8．数列满足：，，则此数列的前32项和=____________.

9．已知等差数列中，，则和乘积的最大值是______.

10．若等差数列的前n项和，，，当________时，取得最大值.

11．若数列{an}的前n项和，则{an}的通项公式是______

12．已知{an}为等差数列，Sn为{an}的前n项和，n∈N，若a3=16，S20=20，则S10值为         ．

13．已知等差数列的前n项和满足，，，则________.

14．数列的通项公式是，那么它的前项和最大时的的值是____________.

15．已知数列的通项公式是，那么达到最小值时n为________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】运用，结合已知，即可求得通项，要注意检验是否满足通项.

详解：当且时,

,

又满足此通项公式，

则数列的通项公式，

故答案为:

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式，熟练掌握是解题的关键，同时注意把首项代入通项进行检验，属于基础题.

2．【答案】

【解析】根据，，可求公差，结合等差数列的求和公式可得.

详解：设等差数列的公差为，则，所以，

.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查等差数列基本量的运算，根据通项公式求解公差是关键，侧重考查了数学运算的核心素养.

3．【答案】18

【解析】设第一个人分到的橘子个数为，由等差数列前项和公式能求出得到橘子最少的人所得的橘子个数，再由等差数列的通项公式即可求出答案．

详解：设第一个人分到的橘子个数为，由题意得，解得，

则.

故答案为：18

【点睛】

本题考查等差数列的首项的求法，考查了等差数列的通项公式，是基础题．

4．【答案】.

【解析】详解：时，时，，可得，即数列从第二项起为等比数列，时， ，故答案为.

【方法点睛】

本题主要考查数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于难题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.

5．【答案】

【解析】由，n≥2时，两式相减，可得{an}的通项公式；

详解：∵Sn＝2n2（n∈N），∴n＝1时，a1＝S1＝2；

n≥2时，an＝Sn﹣＝4n﹣2，a1＝2也满足上式，∴an＝4n﹣2

故答案为

【点睛】

本题考查数列的递推式，考查数列的通项，属于基础题．

6．【答案】

【解析】将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列，然后计算原第2020项在这个数列的第几项，再根据题意可得.

详解：将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列，

因为，

则2020项前共包含63个完整组，且第63组最后一个数字为第2016项，且第2016项的符号为负，

故2020项为第64组第4个数字，由奇偶交替规则，其为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列创新问题，解题关键是把绝对值相同的数字归为一组，通过组数来讨论原数列中的项，这借助于等差数列就可完成，本题考查了转化思想，属于中档题.

7．【答案】13.6

【解析】在等差数列中由前n项和公式，将已知转化为首项和公差，再带入通项公式中，求得答案.

详解：在等差数列中，得，

所以.

故答案为：13.6

【点睛】

本题考查等差数列中知三求二，由已知转化为首项和公差，进而表示所求问题，属于简单题.

8．【答案】

【解析】利用条件中递推关系式，得出数列的特点，相邻奇数项和为1，相邻偶数项的和为等差数列，然后利用分组求和进行求解.

详解：因为，

所以，

所以，，

所以依次取2个相邻奇数项的和都为1，从第二项起，依次取2个相邻偶数项的和构成等差数列，且首项为5，公差为8.

所以此数列的前32项和为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查数列的递推关系及数列求和问题，根据数列通项的特点选择合适的求和方法是解题关键，侧重考查数学运算的核心素养.

9．【答案】9

【解析】根据等差数列的下标和性质，得到，再利用基本不等式的推论，即可求得结果.

详解：因为是等差数列，故可得，

由基本不等式可得，

当且仅当时，取得最大值.

故答案为：9.

【点睛】

本题考查等差数列的下标和性质，涉及基本不等式的使用，属基础题.

10．【答案】或

【解析】根据题意，写出，利用其函数性质，即可求得结果.

详解：由题可知，其对称轴为；

故当或时，取得最大值.

故答案为：或.

【点睛】

本题考查等差数列前项和的最值求解，属基础题.

11．【答案】an=．

【解析】由题意得，求出即可.

详解：∵数列{an}的前n项和，∴当时，a1=S1=2-4=-2，

当n≥2时，．

检验：当时，不适合上式，∴{an}的通项公式是an=．

故答案为：an=．

【点睛】

本题考查数列的前项和与通项公式的关系，解题时要认真审题，属于基础题.

12．【答案】110

【解析】详解：由题意a3=16，故S5=5×a3=80，

由数列的性质S10﹣S5=80+25d，S15﹣S10=80+50d，S20﹣S15=80+75d，

故S20=20=320+150d，解之得d=﹣2

又S10= =80+80+25d=160﹣50=110

故答案为110

点评：本题考点是等差数列的性质，考查等差数列前n项和的性质，以及数列的中项的运用，本题技巧性较强，属于等差数列的性质运用题，解答本题，要注意从题设条件中分析出应该用那个性质来进行转化．

13．【答案】15

【解析】根据等差数列的前项和与等差数列的性质求解，

详解：因为，所以，又，

所以.故，解得.

故答案为：15.

【点睛】

本题考查等差数列的前项和，等差数列的性质，利用等差数列的性质求解可以减少计算量．

14．【答案】

【解析】先判断数列的单调性，找到符号变号的临界项就能得到结果.

详解：因为，所以，即数列是单调递减的等差数列，

令得，即，所以前项和最大时的的值是.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查等差数列前项和的最值问题，一般有两种思路，一是利用通项公式寻求正负项的界限；二是利用二次函数知识求解.侧重考查数学运算的核心素养.

15．【答案】22或23.

【解析】利用数列的单调性求得满足题意的n即可.

详解：，数列是递增数列.

令，解得：，或，

则可知达到最小值时n为22或23.

故答案为：22或23.

【点睛】

本题考查等差数列前n项和最值的求法，属于基础题.