人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.5 数学归纳法课后测评

【精编】5.5 数学归纳法-3课时练习

一．填空题

1．设函数，观察：

，

，

，

，

根据以上事实，由归纳推理可得：

当且时， ______.

2．如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为__________．

3．已知，则_________.

4．利用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，左边应该是                  ．

5．已知，若（），则______．

6．把数列的各项依次排列，如图所示，则第行的第个数为__________．

7．观察下列等式：

＋＝；

＋＋＋＝；

＋＋＋＋＋＝；

则当且时，

＋＋＋＋＋＋＝________(最后结果用表示)．

8．利用数学归纳法证明“ ”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 ________．

9．已知，把数列的各项排成如下的三角形：

记表示第行的第个数，则___．

10．已知，根据这些结果,归纳出一个一般性的结论是____．

11．观察下列各式： ， ， ， ， ，…，则=_________.

12．已知，则归纳推理得________________________

13．若为的各位数字之和，如，，则.记，，，…，，，则__________．

14．；

；

；

；

照此规律，当时，__________．

15．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦曼德尔布罗特（ ）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路.下图是按照分型的规律生长成的一个树形图，则第10行的空心圆的个数是__________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据题目所给出的四个等式，分母中的系数分别为3．15．63．255，而后面的常数项为4．16．64．256.于是可推知第n个等式的分母中，x的系数为，后面的常数项为.由此可知.

2．【答案】8

【解析】分析：先从第二层起求各层增加的点数，再根据叠加法求和，最后解方程得层数.

详解：因为，

所以

因为六边形点阵共有169个点，所以.

因此层数为8.

点睛：由前几项归纳数列通项的常用方法：观察(观察规律)．比较(比较已知数列)．归纳．转化(转化为特殊数列)．联想(联想常见的数列)等方法.

3．【答案】

【解析】根据题意共有项且各项的分母从变到，故得到的代数式，再用表示

【详解】

，

故答案为

【点睛】

本题主要考查了数学归纳法的应用，考查了数列的递推式，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用。

4．【答案】

【解析】用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，将代入，左边以1即开始，以结束，所以左边应该是.

考点：数学归纳法.

5．【答案】63

【解析】由归纳，得，即，即.

6．【答案】

【解析】分析：根据数表中数据，发现规律，根据规律结合等差数列的求和公式．等比数列的通项公式可得第行第个数是数列的第项为.

详解：第行有个数；

第行有个数；

第行有个数，

，,

第行有个数，

前行共有个数，

第行第个数是数列的第项为，故答案为.

点睛：归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质.②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察．实验．对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.

7．【答案】

【解析】观察可知：＋＋＋=（＋）＋（＋）=（＋）＋（＋），有项，＋＋＋＋＋＝（＋）＋（＋）＋（＋）＝（＋）＋（＋）＋（＋），有项，因此

＋＋＋＋＋＋共有项，利用倒序求和：＋＋＋＋＋+

考点：归纳猜想

8．【答案】

【解析】当n=k时，左边=（k+1）（k+2）（k+k），

当n=k+1时，左边=（k+2）（k+3）（k+k）（2k+1）（2k+2），

故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是

考点：数学归纳法

9．【答案】

【解析】第一行有个数,第二行有个数,第三行有个数,故每行数目成等差数列.前行共有个数,故第行,第个数为的的第个数,故.

【点睛】本小题主要考查归纳推理,考查等差数列的概念与基本的计算,考查观察分析问题的能力,考查归纳推理.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)；③检验猜想．有多少项是本题解题的关键.

10．【答案】

【解析】等式右边是一个首项为,公比为的等比数列,故右边为左边有项时,分母为,有两项时分母为,即分母为等差数列,由此可以分析得到结论为.

【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理.考查归纳推理的一般方法. 归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的 推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由部分到整体．由个别到一般的推理；

11．【答案】199

【解析】通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和，因此

故答案为199

点睛：归纳推理的一般步骤: 一．通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二．从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列．等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.

12．【答案】.

【解析】分析：本题考查的知识点是归纳推理，方法是根据已知中的等式，分析根号中分式分子和分母的变化规律，得到a，b值．

详解：由已知中，

，

，

，

，

，

归纳可得：第n个等式为：

当n+1=10时，a=10，b=99，

故a+b=109，

故答案为：109.

点睛：归纳推理是数学中一种重要的推理方法，是由特殊到一般．由个别到全部的推理，常见的是在数列中的猜想，其关键在于通过所给前几项或前几个图形，分析前后联系或变化规律，以便进一步作出猜想．

13．【答案】11

【解析】分析：根据所给出的定义逐个求出，归纳得到一般性的规律后可得所求．

详解：由题意得

，故；

，故；

，故；

，故；

，故；

，故；

∴当时，．

∴ ．

点睛：数的归纳时归纳推理中的常见题型，它包括数字归纳和式子归纳．解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列．等比数列等．

14．【答案】

【解析】分析：通过所给示例，找出通项公式变化规律即可。

详解：

所以归纳可得

点睛：本题考查了归纳推理的简单应用，属于简单题。

15．【答案】21.

【解析】分析：根据图形分析相邻两行黑圆．空心圆的个数关系，得到两者间的关系，逐步计算得出第10行的空心圆的个数.

详解：根据图中的分形规律可知，1个空心圆分形为1个黑圆，1个黑圆分形为1个空心圆1个黑圆，白球个数记为点的横坐标，黑圆个数记为纵坐标，所以第一行记为（1，0），第二行记为（0，1），第三行记为（1，1），第四行记为（1，2）；第五行记为（2，3）∴由此可以归纳出下一行的空心圆个数就是上一行的黑圆的个数，下一行的黑圆的个数就是上一行的黑圆．空心圆的个数和，所以由此可得第10行的空心圆的个数是21.

点睛：本题考查归纳推理的应用，属于中档题．归纳推理的一般步骤: