人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.3 基本初等函数的导数同步训练题

【精品】6.1.3 基本初等函数的导数-1课时练习

一．填空题

1．曲线f（x）＝x2e﹣x在点（1，f（1））处的切线方程为_____.

2．在曲线的所有切线中，切线斜率的最小值为________.

3．已知，若函数有4个零点，则实数k的取值范围是______．

4．已知函数，若曲线在处的切线方程为，则a＋b＝_______.

5．曲线在处切线的倾斜角为______．

6．已知，则的值为___.

7．已知函数和点，则导数______；的图像在点处的切线的方程是______.

8．若直线是曲线的切线，且，则实数b的最小值是______.

9．过点与曲线相切的直线方程为______________.

10．曲线在点处的切线方程是，则切点的坐标是____________.

11．设点P是曲线上的任意一点，P点处的切线倾斜角为，则的取值范围为____________.

12．已知函数．则函数在处的切线方程为___________．

13．曲线在点处的切线方程为___________.

14．已知函数，且对恒成立，则曲线在点处的切线的斜率为___________.

15．若，则_____________.

参考答案与试题解析

1．【答案】x﹣ey＝0

【解析】先求出函数的导数，然后再求出切点处函数值．导数值，最后代入点斜式得切线方程.

详解：，∴，

故切线为：，即x﹣ey＝0.

故答案为：x﹣ey＝0

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，利用导数求解曲线的切线方程，明确切点处的导数值是切线的斜率是求解关键，侧重考查数学抽象的核心素养.

2．【答案】

【解析】求出原函数的导函数，可得导函数的最小值，求出使导函数取最小值的值，即可得出结果.

详解：解：由题意得,，

当且仅当时取等号.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的斜率，考查基本不等式求最值，是中档题.

3．【答案】

【解析】转化条件得有4个零点,令，画出两函数的图象后可得当函数过点和时．函数与的图象相切时，函数与的图象恰有3个交点；当在两者范围之间时，满足条件，利用导数的性质求出函数与的图象相切时的值即可得解.

详解：由题意有4个零点即有4个零点,

设，则恒过点，

函数与的图象有4个交点，

在同一直角坐标系下作出函数与的图象，如图，

由图象可知，当时，函数与的图象至多有2个交点；

当函数过点和时，，此时函数与的图象恰有3个交点；

当函数与的图象相切时，

设切点为，，

，，解得，

，此时函数与的图象恰有3个交点；

当时，两函数图象至多有两个交点；

若要使函数有4个零点，则.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了函数的零点问题和导数的几何意义，考查了数形结合思想，属于中档题.

4．【答案】0

【解析】由题意结合导数的运算．导数的几何意义可得．，即可得解.

详解：∵，∴，

∵曲线在处的切线方程为，

∴，，

∴.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了导数的运算及导数几何意义的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

5．【答案】

【解析】求出导函数，再求出的导数值，利用导数的几何意义即可求解.

详解：，，

切线的倾斜角满足，

，．

故答案为：

【点睛】

本题考查了导数的几何意义．基本初等函数的导数公式，属于基础题.

6．【答案】1

【解析】因为 ，所以

点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.

(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数．切点坐标．切线斜率之间的关系来进行转化.以平行．垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行．垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.

7．【答案】     

【解析】本题首先可以根据导函数的求法得出，然后求出，最后通过直线的点斜式方程即可求出的图像在点处的切线的方程.

详解：因为，

所以，

因为，，

所以的图像在点处的切线的方程是，即，

故答案为：；.

【点睛】

本题考查函数的求导以及函数上一点的切线方程，考查导函数的几何意义，考查直线的点斜式方程，考查计算能力，是简单题.

8．【答案】

【解析】求出的导数，设切线为，由切点处的导数值为切线斜率求出，再由切点坐标可把表示为的函数，再利用导数可求得的最小值．

详解：的导数为，由于直线是曲线的切线，设切点为，则，

∴，又，∴（），，

当时，，函数b递增，当时，，函数b递减，

∴为极小值点，也为最小值点，∴b的最小值为.

故答案为：．

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值．在求切线方程时要注意“在”某点处的切线与“过”某点的切线．如果是过某点的切线可设切点坐标为，利用导数几何意义求出切点坐标．

9．【答案】.

【解析】设切点坐标，写出切线方程，根据切线过点，再求出切点坐标，从而得切线方程.

详解：设切点坐标为，

由得，

切线方程为，

切线过点，

，即，

，

即所求切线方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的几何意义．求过某点的切线，应先设切点坐标，由导数的几何意义写出切线方程，代入所过点的坐标求出切点坐标，从而得出切线方程．

10．【答案】

【解析】由导数的几何意义，求得切点处的切线的斜率，得到，求得，分类讨论，即可求解.

详解：由函数，则，

设切点的坐标为，则斜率，

所以，解得，

当时，切点为，此时切线方程为；

当，切点为，不满足题意，

综上可得，切点为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记曲线在某点处的切线方程的求法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

11．【答案】

【解析】设点，根据导数的几何意义，求得，即可得到答案.

详解：设点，由函数，可得，

可得，即，

又由，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义及其应用，其中解答中熟记导数的几何意义，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

12．【答案】

【解析】先求导数，然后利用导数求出斜率，最后利用点斜式写出切线方程即可．

详解：解：

，

，

故切线方程为：，即．

故答案为：．

【点睛】

本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法．属于基础题．

13．【答案】

【解析】根据导数的几何意义,先求得在点处的切线的斜率.进而结合点斜式即可求得切线方程.

详解：曲线

则

所以在点处的切线的斜率为

由点斜式可得

故答案为:

【点睛】

本题考查了导数的几何意义,直线方程的点斜式应用,属于基础题.

14．【答案】17

【解析】依题意可得，求出，再求出函数的导函数，求出其在处的导数值，即可得解；

详解：解：因为，所以当时，取得最小值，即，因为，所以所求切线的斜率为.

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义与函数的最值，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题.

15．【答案】

【解析】根据导数的定义，将转化为求解.

详解：因为，

，

，

.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查导数的定义，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.