高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第六章 导数及其应用6.1 导数6.1.3 基本初等函数的导数同步达标检测题

【精选】6.1.3 基本初等函数的导数-1课时练习

一．填空题

1．曲线的切线中，斜率最小的切线方程为__________.

2．曲线在点处的切线方程是______.

3．函数在处的切线方程为______

4．若函数和的切线中存在两条切线平行，则称这两个函数具有“局部平行性”．已知函数与存在“局部平行性”，则的取值范围为______．

5．已知函数，其中，若过原点且斜率为k的直线与曲线相切，则 的值为_______．

6．已知当，函数，且，若的图像与的图像在第二象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数变化时，实数的取值范围是_______.

7．曲线在点处的切线方程为__________.

8．已知函数若，则正数a的取值范围是______.

9．已知函数，则曲线在点处的切线的方程为__________.

10．若点P是函数上任意一点，则点P到直线x﹣y﹣2=0的最小距离为_____.

11．若曲线在处切线的倾斜角为θ，则的值为________.

12．函数的图象在处的切线方程为________．

13．己知a，b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，则的最小值是_______________.

14．若曲线在点处的切线与直线平行，则_________.

15．函数在处的切线方程为____________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】求出导函数，由基本不等式求得最小值，得最小的切线斜率，及切点坐标，然后可得切线方程．

详解：由题意，当且仅当且，即时等号成立，又时，，即斜率为1，切点为，切线方程为，即．

故答案为：．

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查用基本不等式求最值，属于中档题．

2．【答案】

【解析】

的导数为，

可得曲线在点处的切线斜率为3，

则曲线在点处的切线方程为，

即为．

故答案为：．

3．【答案】

【解析】求导后求出即可得切线的斜率，利用点斜式即可得解.

详解：求导得，所以，

所以函数在处的切线方程为，即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了导数的运算和导数几何意义的应用，属于基础题.

4．【答案】

【解析】求出和，由有解可得的范围．

详解：由题意，，设的切点为，的切点是，则有解，

，，，，因此，

∴，解得．

故答案为：．

【点睛】

本题考查新定义，考查导数的几何意义，转化与化归思想，解题关键是把新定义转化为方程有解，集合的交集不等于空集．

5．【答案】

【解析】设切点为，根据导数值等于切线斜率，切点在曲线上，也在直线上，联系方程组并化简即可求得答案.

详解：设切点为，则，又，则，

又切线方程为：，则，则，

得，得，故.

 故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义，设出切点，应用导数值等于切线斜率．切点在曲线上．也在直线上列式并化简是解决问题的关键.

6．【答案】

【解析】根据题意，可知与均为偶函数，所以与的图像在第二象限有公共点，且在该点处的切线相同，则在第一象限也有公共点，且在该点处的切线也相同，求导得时，，，设在第一象限的切点的横坐标为，得出，则，整理得，即可求出的取值范围，从而可求出实数的取值范围.

详解：解：由题意知：和，

所以与均为偶函数，

由于与的图像在第二象限有公共点，且在该点处的切线相同，

则在第一象限也有公共点，且在该点处的切线也相同，

因为时，，

所以时，，，

设在第一象限的切点的横坐标为，则，可得，

则有，即：，

由，即，

则，解得：，

综上可得：，则，

又因为，所以，

即：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的几何意义的应用，以及函数的奇偶性的应用，考查函数与方程思想．转化与化归思想.

7．【答案】

【解析】由题意可得切点，对求导可得，即为切线斜率，由此可求其切线方程.

详解：由，可得切点，

，，

其切线方程为即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查应用导数求切线方程，求出函数的导数即可得到切线斜率，再根据点斜式即可求出切线方程，属于简单题.

8．【答案】

【解析】由正数a可知在上递增，不妨设，原问题转化为，构造函数，利用函数单调性即可求解.

详解：因为为正数，

所以函数在上单调递增，

不妨设，

则，

可得，恒成立，

令，，

即在上成立，

所以函数在上是减函数，

，

在恒成立，

当，为增函数，

即可，

解得

又，

所以

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了函数导数的几何意义，直线的斜率，转化思想，函数的最值，属于难题.

9．【答案】

【解析】先求导函数，求得在切点处的直线斜率；再根据点斜率求得切线方程．

详解：因为，

所以，

则所求切线的方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，过定点切线方程的求法，注意区分切点是否在曲线上.属于基础题.

10．【答案】

【解析】结合图象可得P为与直线x﹣y﹣2=0平行且与函数f（x）相切的切线的切点，根据导数几何意义求得点P坐标，最后根据点到直线距离公式得结果.

详解：设x﹣y+m=0与函数的图象相切于点P（x0，y0）.

所以，x0>0，解得x0=1.∴y0=1，

∴点P（1，1）到直线x﹣y﹣2=0的距离为最小距离，

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数几何意义以及点到直线距离公式，考查基本分析求解能力，属中档题.

11．【答案】

【解析】求出该点的导数，该点的导数就是倾斜角θ的正切，再把化成正切即可.

详解：由于，则，

故

故答案为：.

【点睛】

考查求函数在某一点的导数及三角恒等变形的能力；基础题.

12．【答案】

【解析】对函数进行求导，求得的值，再利用斜截式方程，即可得答案；

详解：，，

切点坐标为，

函数的图象在处的切线方程为，

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的几何意义求切线方程，考查运算求解能力，求解时注意的导数求解是解题的关键.

13．【答案】4

【解析】由题意结合导数的几何意义．导数的运算可得．，进而可得，再利用，结合基本不等式即可得解.

详解：对求导得，

因为直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，

所以即，

所以，所以切点为，

由切点在切线y=x－a上可得即，

所以，

当且仅当时，等号成立.

所以的最小值是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了导数的运算．导数几何意义的应用，考查了基本不等式求最值的应用及运算求解能力，属于中档题.

14．【答案】

【解析】求出函数在处的导数值,即可根据两直线平行(斜率都存在)斜率相等截距不相等列出等式,得出答案.

详解：因为.

所以,

所以 .

因为曲线在点处的切线与直线平行,

即.

故答案为:.

【点睛】

本题考查函数的导函数的几何意义,属于基础题.解本提出的关键在于理解函数在某点的导函数值等于函数在这点的切线的斜率.

15．【答案】

【解析】求出，进而得到，再利用点斜式方程，即可得到答案；

详解：，，

切点为，切线方程为，即，

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.