人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.3.2 等比数列的前 n项和课堂检测

【特供】5.3.2 等比数列的前n项和-1作业练习

一．填空题

1．任意正整数的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以36的所有正约数之和为；因为，所以135的所有正约数之和为.参照上述方法，可求得1000的所有正约数之和为___________.

2．已知公比为q的等比数列的前n项和为，公差为d的等差数列的前n项和为，且，则的值为________．

3．在等比数列中，，，且，，则___________.

4．已知正项等比数列的前项和为，，则__________.

5．若等比数列的前项和为，则常数的值等于___________.

6．在等比数列中，，，则的前项和为___________.

7．记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若a1+a2=96，a3=16，则S4的值为__________．

8．我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”是指从塔的顶层到底层）．则宝塔的顶层有______盏灯．

9．正三棱锥中，，侧棱长为2，点是棱的中点，定义集合如下：点是棱上异于的一点，使得()，我们约定：若除以3的余数，则(例如：？等等)

（1）若，求三棱锥的体积；

（2）若是一个只有两个元素的有限集，求的范围；

（3）若是一个无限集，求各线段，，，的长度之和(用表示).(提示：无穷等比数列各项和公式为())

10．数列中，，，，且为等比数列，则数列的前2021项和___________.(只需写出表达式)

11．已知数列满足，则的前6项和为___________.

12．已知数列的前项和为，若，，成等比数列，则正整数的值为___________.

13．在公差不为零的等差数列中，是与的等比中项，则＝_____．

14．已知等比数列的前项和满足，数列满足，其中，给出以下命题：

①；

②若对恒成立，则；

③设，，则的最小值为；

④设，若数列单调递增，则实数的取值范围为．

其中所有正确的命题的序号为________．

15．已知数列满足：，若，且数列是单调递增数列，则实数t的取值范围是_____________．

参考答案与试题解析

1．【答案】2340

【解析】分析：1000=,然后仿照题中给出的方法计算，可以借助以等比数列的求和公式简化计算.

详解：1000=,

所有正约数之和为,

故答案为：2340.

2．【答案】1

【解析】分析：将分别用前项和表示，然后根据等式的特征，可得，再解方程即可.

详解：令等比数列的首项为，等差数列的首项为，

所以

所以，

因此.

故答案为：1.

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键是运用等比数列及等差数列的前项和公式，然后建立方程组.

3．【答案】

【解析】分析：本题首先可根据得出，然后与联立，解得．，最后通过即可得出结果.

详解：因为数列是等比数列，，所以，

联立，解得，，

则，

故答案为：.

4．【答案】

【解析】分析：根据等比数列的性质，结合等比数列前项和公式进行求解即可.

详解：设正项等比数列的公比为，，

因为，所以，

因此，

而，所以，

故答案为：

5．【答案】1

【解析】分析：由等比数列前n项和的表达式的结构特征比对即可得解.

详解：因，等比数列的公比，则有，

令，从而等比数列的前项和满足，把与之比对得.

故答案为：1

【点睛】

思路点睛：等比数列前n项和公式应用，在等比数列的公比q未知时，要用前其n项和公式，必须按与讨论.

6．【答案】

【解析】分析：由，，利用“ ”法求解,

详解：设等比数列的公比为，

因为，，

所以，

解得，

则.

所以的前项和为.

故答案为：

7．【答案】120

【解析】分析：由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求，，然后结合等比数列的求和公式即可直接求解．

详解：解：根据题意，设该正项等比数列的公比为q，则q>0，

因为a1+a2=96，

所以，

又a3=a1q2=16，

所以，整理可得：6q2-q-1=0，解得，或（舍去），

所以a1=64，

所以．

故答案为：120.

8．【答案】3

【解析】分析：用数列每层塔灯的盏数，则成等比数列，由等比数列的基本量运算可得．

详解：用数列每层塔灯的盏数，则成等比数列，

，底层灯盏数为，则，所以，解得．

故答案为：3.

9．【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】分析：由正三棱锥及()可知是等腰三角形，则可得数列是一个以为首项，为公比的等比数列.

（1）可推知时，三棱锥为棱长为1的正四面体，则可求出其高．底面积，从而求出体积；

（2）是一个只有两个元素的有限集等价于且，由等比数列的可分别求出和，解不等式组，即可求出的范围；

（3）根据是一个无限集可知数列是一个以为首项， 为公比的无穷等比数列，结合无穷等比数列的求和公式，即可得到结果.

详解：点是正三棱锥棱上异于的一点，

且()

是等腰三角形，且．为两腰

又正三棱锥中，，

，

，

则数列是一个以为首项，

为公比的等比数列，

（1）当时，，

且，则三棱锥为正四面体，

其高，底面积，

故其体积；

（2）是一个只有两个元素的有限集，

，即

由，

得，，

由解得

；

（3）是一个无限集，且，

则数列是一个以为首项，

为公比的无穷等比数列，

.

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是发现是等腰三角形，且．为两腰，从而得到，则可得知数列是一个以为首项， 为公比的无穷等比数列.

10．【答案】或

【解析】分析：令，根据为等比数列，求出通项公式，由利用等比数列的求和公式计算即可得解.

详解：，，， 为等比数列，

令，则，

公比，

.

故答案为：或

11．【答案】

【解析】分析：利用等比数列的定义，结合等比数列前项和公式进行求解即可.

详解：因为，所以，

因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以的前6项和为.

故答案为：.

12．【答案】3

【解析】分析：根据数列的前n项和，求得通项公式，代入条件求得参数k.

详解：设数列的前n项和为，当时，；

当时，，故，；

而，故，解得.

故答案为：3

13．【答案】

【解析】分析：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），利用已知建立关系，用a1表示d，再用a1表示出a9及前9项和即可得解.

详解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由是与的等比中项，得

即，化简得，

所以，，

所以

故答案为：

14．【答案】②④

【解析】分析：由等比数列前项和公式特点确定，进而明确与的通项，结合数列的单调性判断各个命题.

详解：由为等比数列，其前项和，则，故①不正确；

由，可得，则，若对恒成立，

即对恒成立，

令，则

当时，；

当时，，

当时，，则，

则，故②正确；

由，，

令，则

当，时，，

当，时

则，故③不正确；

，由单调递增，

则，则，故④正确．

故答案为：②④

【点睛】

关键点点睛：（1）等比数列的前项和；

（2）证明数列的单调性一般采用作差（或作商）的方式；

（3）数列作为特殊函数，特殊在定义域上，定义域不连续.

15．【答案】

【解析】分析：凑配出等比数列求出通项，可得，再利用递增数列的定义求解．

详解：因为，得，是等比数列，

所以，，

，，

是递增数列，

时，，，所以，，

又，所以，，

综上，．

故答案为：．

【点睛】

易错点睛：本题考查数列的单调性，根据单调性的定义解题是基本方法．求解时要注意表达式适用的范围，题中在由已知关系式求得通项公式中是从开始的项的表达式，因此在由求参数范围时，，不包含，因此最后还有一步：，否则会出错．