高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.5 数学归纳法课时作业

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.5 数学归纳法课时作业，共15页。试卷主要包含了________，观察下列各式等内容，欢迎下载使用。
【优选】5.5 数学归纳法-2练习一．填空题1．设为不超过x的最大整数，为可能取到所有值的个数，是数列前n项的和，则下列结论正确的是________.（1）              （2）190是数列中的项  （3）            （4）当时，取最小值2．设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数，则=______；当时，_____________________．（用表示）3．用数学归纳法证明“”时，由不等式成立，推证时，左边应增加的项数共有________项.4．________．5．如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来（n＝1，2，3，），则第n﹣2（n≥3，n∈N）个图形中共有_____个顶点．6．观察下列各式：照此规律，当n∈N时，__________．
7．观察下列等式，，，，，从中可以归纳出一个一般性的等式是：__________.8．用数学归纳法证明“”时，由不等式成立，推证时，左边应增加的项数是______．9．已知，则当时，___________.10．设，为的展开式的各项系数之和，，， （表示不超过实数x的最大整数），则的最小值为_____11．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝________.12．数列的前项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记，例如当时，；当时，，试写出___13．用数学归纳法证明，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是_____项．14．设，且，则______.15．已知正项数列满足，前项和满足，则数列的通项公式为______________．
参考答案与试题解析1．【答案】(1)(3)(4)【解析】首先根据的定义求得，以此类推求得的通项公式，利用裂项求和法求得.由此对四个结论逐一分析，确定结论正确的选项.【详解】当时，，故.当时，，故.当时，，故，共有4个数，即，故（1）结论正确.以此类推，当时，，故可以取的个数为，即，当时上式也符合，所以；令，得，没有整数解，故（2）错误.，所以，故，所以（3）判断正确.，，当时, ，当时, ，故当时取得最小值，故（4）正确故答案为：(1)(3)(4)【点睛】本小题主要考查新定义的理解和运用，考查分析．归纳的能力，考查裂项求和法，考查与数列最值有关问题的求解，属于中档题.2．【答案】5,  【解析】时，其中两条直线互相平行，其余两条直线与这两条平行直线分别各有1个交点，然后两条直线本身有一个交点，所以。当时，其中两条直线互相平行，其余直线与这两条平行直线分别各有1个交点，然后条直线之间有个交点，所以。3．【答案】2【解析】分别写出和时，不等式左边的所有项，根据分母特点计算多出的项数．【详解】时，左边，当时，左边．左边增加的项数为2.故答案为：2.【点睛】本题考查了数学归纳法的证明步骤，属于基础题．4．【答案】【解析】在分式的分子和分母中同时除以，利用极限的性质可计算出所求极限值.详解：.故答案为：.【点睛】本题考查数列极限的计算，考查计算能力，属于基础题.5．【答案】【解析】可分别计算当n＝1．2．3．4时顶点的个数，利用数学归纳法可得第n﹣2个图形的顶点个数.【详解】解：由已知中的图形我们可以得到：当n＝1时，顶点共有12＝3×4（个），n＝2时，顶点共有20＝4×5（个），n＝3时，顶点共有30＝5×6（个），n＝4时，顶点共有42＝6×7（个），由此我们可以推断：第n个图形共有顶点（n+2）（n+3）个，∴第n﹣2个图形共有顶点n（n+1）个．故答案为：n（n+1）.【点睛】本题主要考察数序归纳法的应用，依据图像找出规律是解题的关键.6．【答案】【解析】观察下列各式：右边式子分子为 ，分母为.【详解】观察下列各式：照此规律，当n∈N时，【点睛】本题考查了观察分析归纳其规律的合情推理求和，属于基础题． 7．【答案】【解析】通过观察前几个式子的变化规律，总结规律即可得到答案.【详解】根据题意，第一个式子从1开始，左边按顺序加有1项；第二个式子从2开始，有3项；第三个式子从3开始，有5项，于是可归纳出，第n个式子从n开始，有项，于是答案为：.【点睛】本题主要考查归纳法，意在考查学生的逻辑推理能力和数感，难度不大.8．【答案】【解析】解：利用数学归纳法证明不等式：时，由不等式成立推证时，左边应添加的代数式是9．【答案】【解析】根据的表达式可得出和的表达式，两式相减可得出结果.【详解】，，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查了数学归纳法中的相关计算，在解题时要观察两代数式之间的差异，考查计算能力，属于基础题.10．【答案】【解析】利用赋值法，令可得：，，利用数学归纳法证明：，当时，成立，假设当时不等式成立，即，当时：据此可知命题成立，则，，，故，的几何意义为点 到点的距离，如图所示，最小值即到的距离，由点到直线距离公式可得的最小值为.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念．新公式．新定理．新法则．新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。11．【答案】【解析】利用S1=a1, ，结合已知等式，依次代入求得S1，S2，S3，观察归纳求解即可.【详解】S1=a1,由(S1－1)2＝a1S1 ,解得：S1＝；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，解得：S2＝；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3得：S3＝.猜想Sn＝.故填：.【点睛】本题考查了归纳推理的运用，归纳推理是由特殊到一般，由具体到抽象的一种推理形式，通过观察．试验，对有限的资料归纳整理，得出带有规律性的猜想.12．【答案】【解析】通过计算出，并找出．．的共同表示形式，进而利用归纳推理即可猜想结论．【详解】当时,，则,,,,由，，，猜想：.故答案为：.【点睛】本题考查元素与集合关系的判断以及数列前项和的归纳猜想,属于中档题.13．【答案】【解析】根据等式时，考虑和时，等式左边的项，再把时等式的左端减去时等式的左端，即可得到答案．【详解】解：当时，等式左端，当时，等式左端，所以增加的项数为：即增加了项．故答案为：．【点睛】此题主要考查数学归纳法的问题，解答的关键是明白等式左边项的特点，再把时等式的左端减去时等式的左端，属于基础题．14．【答案】【解析】根据递推，然后用数学归纳法证明即可.详解：解：，，，，猜想，用数学归纳法证明如下：时，结论显然成立；假设时，，时，，此示时，结论成立综合以上有，故答案为：【点睛】考查递推法求数列通项，注意用数学归纳法证明即可；基础题.15．【答案】【解析】利用归纳推理，推猜出，再用数学归纳法证明即可.【详解】当时，；当时，；当时，；当时，，猜想得，故，下面用数学归纳法证明：②    ，满足，②假设时，结论成立，即，可得，则，，也满足，结合①②可知，，故答案为．【点睛】本题本题主要考查归纳推理与数学归纳法的应用，属于难题.归纳推理的一般步骤: 一．通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二．从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.