人教B版 (2019)选择性必修 第三册第六章 导数及其应用6.1 导数6.1.2 导数及其几何意义课后练习题

【优编】6.1.2 导数及其几何意义-2作业练习

一．填空题

1．已知函数，则曲线在处的切线方程为________.

2．已知直线与曲线相切，则实数k的值为______．

3．已知曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为______.

4．在平面直角坐标系中，已知点M是双曲线上的异于顶点的任意一点，过点M作双曲线的切线l，若，则双曲线离心率等于_______.

5．已知函数在处的导数为，则______.

6．已知函数，若曲线在处的切线恰好平分圆：的周长，则实数的值为______.

7．已知函数的图象在点处的切线方程是，则______.

8．已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在．两点处的切线互相平行，则的取值范围为______.

9．若曲线在点处的切线方程为，则______.

10．已知双曲线的一条渐近线与曲线相切，则该双曲线的离心率为______.

11．曲线在点处的切线方程为________.

12．已知为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，，分别是该抛物线在两点处的切线，相交于点，则_________

13．曲线在点处的切线方程为________.

14．已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为____________.

15．设P为yx2﹣2图象C上任意一点，l为C在点P处的切线，则坐标原点O到l距离的最小值为_____.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：求出函数的导数，算出，即可得到切线的斜率，再由点斜式求出切线方程；

详解：解：因为，

所以，所以

故切线方程为，整理得

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.

2．【答案】

【解析】详解：设切点为,

切线：

即，又

所以，即

3．【答案】3

【解析】分析：首先求出函数的导数，根据直线平行得到，即可求出参数的值；

详解：解：因为，所以，所以，

因为在点处的切线与直线平行，所以，所以，

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义，属于基础题.

4．【答案】

【解析】分析：利用导数证明在双曲线上点处的切线方程为，转化条件得，再利用即可得解.

详解：当时，由可得，

求导得，

所以在双曲线上点处的切线方程为，

化简得，同理可得当时依然成立；

设点，则，，

由得，所以，

所以双曲线离心率.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了利用导数求切线，考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题.

5．【答案】2

【解析】分析：根据函数在处导数为2得，然后对进行变形，利用导数定义即可得出为2.

详解：解：依题意有，所以

.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查导数的定义，关键是导数定义的等价变形，属于基础题.

6．【答案】-3

【解析】分析：先利用导数求出在处的切线方程，然后根据切线平分圆的周长，即切线过圆心，将圆心代入切线方程，即可解得．

详解：圆：即为，故圆心为．

又，，，

故切线方程：．

将代入得：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查导数的几何意义及切线方程的求法，同时考查圆的弦的性质．

7．【答案】-1

【解析】分析：由已知条件：函数的图象在点处的切线的方程是，可以得到和的值，从而得出结果.

详解：解：因为点是切点，所以点M在切线上，所以，

因为函数的图象在点处的切线的方程是，斜率为，所以，所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查已知在某点处的切线方程求函数值和导数值，熟悉切线方程的几何意义是解题的关键，本题属于基础题题.

8．【答案】

【解析】分析：求出函数的导数，由化简可得，利用可得出，结合基本不等式可求得的取值范围.

详解：，，

由题意可得，即，

，化简可得，即，

而，，则，

当时，由基本不等式可得，当且仅当等号成立，

所以，，因此，的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用切线斜率相等求参数的取值范围，涉及导数几何意义以及基本不等式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

9．【答案】2

【解析】分析：对函数求导，利用斜率的值列出方程，解出值．

详解：依题意，，故，解得.

故答案为：2

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查复合函数的求导公式，考查学生计算能力，属于基础题．

10．【答案】

【解析】分析：设切点坐标为，利用导数求出切线方程，由切线过原点求得的值，可得出切线的斜率，进而得出，由此可得出双曲线的离心率为.

详解：设切点坐标为，对于函数求导得，

所以，曲线在处的切线方程为，

由于该切线过原点，则，解得.

所以，切线的斜率为，所以，该双曲线的离心率为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查双曲线的离心率的计算，同时也考查了函数图象的切线过点的问题，考查计算能力，属于中等题.

11．【答案】

【解析】分析：求导，得到和，利用点斜式即可求得结果.

详解：由于，，所以，

由点斜式可得切线方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属基础题.

12．【答案】0

【解析】分析：首先根据题意得到直线：，与抛物线联立得到两点坐标，再利用导数求出的斜率，得到，从而得到。

详解：抛物线的焦点，则直线：。

。

解得或。

因为，则的斜率，的斜率。

因为，所以，故。

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，同时考查了导数的几何意义，属于中档题。

13．【答案】

【解析】分析：根据，得到，所以在点处的切线斜率为-1，写出切线方程.

详解：因为，所以，

所以在点处的切线斜率为-1，

所以切线方程为.

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法，还考查学生的运算求解能力，属于基础题.

14．【答案】

【解析】分析：设出切点坐标，求导，得出过该切点的切线方程，再代入原点坐标，解出切点的坐标，可得答案.

详解：设切点坐标为，，，，

则曲线在点处的切线方程为，

由于该直线过原点，则，得，

因此，则过原点且与曲线相切的直线方程为，

故答案为：.

【点睛】

本题考查求函数过某点的切线方程，一般解决切线方程的问题，不知切点时需设切点，属于基础题.

15．【答案】2

【解析】分析：设出切点P坐标，由导数求得C在点P处的切线方程，由点到直线的距离公式写出坐标原点O到l距离，再由基本不等式求最小值.

详解：设P（），

由yx2﹣2，得，

∴，

则C在点P处的切线方程为：，

整理得：.

∴坐标原点O到l距离d

.

当且仅当，即x0＝0时上式等号成立.

∴坐标原点O到l距离的最小值为2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了点到直线的距离公式，训练了利用基本不等式求最值，是中档题.