高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第六章 导数及其应用6.2 利用导数研究函数的性质6.2.1导数与函数的单调性测试题

【精编】6.2.1 导数与函数的单调性-1练习

一．填空题

1．

已知函数，则不等式的解集为___________.

2．

函数的减区间为_________________

3．已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是___________.

4．

已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝的图象如图所示，则下列说法中不正确的有________．

①当x＝时，函数取得极小值；

②函数有两个极值点；

③当x＝2时，函数取得极小值；

④当x＝1时，函数取得极大值．

5．已知函数是奇函数，当时，.若不等式（ 且）对任意的恒成立，则实数的取值范围是__________.

6．对于定义域为的函数，若满足（1）；（2）当，且时，都有；（3）当，且时，都有，则称为“偏对称函数”.现给出四个函数：①；②；③；④则“偏对称函数”有___________个.

7．

已知幂函数在上单调递减，则实数a的值为__________．

8．

已知，，是正数，且，则，，的大小关系为_______________（用“”联结）．

9．设函数，已知的极大值与极小值之和为，则的值域为______．

10．

若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是______．

11．

若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是______．

12．已知函数，则在上的最大值是__________．

13．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上的“严格凸函数”，称区间为函数的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为______.①函数在上为“严格凸函数”；②函数的“严格凸区间”为；③函数在为“严格凸函数”，则的取值范围为.

14．

已知在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是______.

15．

已知定义在上的函数满足，若，则实数的取值范围是___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】

由题意，函数的定义域为，

且满足，即，

所以函数为奇函数，

又由，

因为，当且仅当时，即时，等号成立，

所以，所以函数为上单调递减函数，

又因为，即，

即，所以，即，

解得，即不等式的解集为.

故答案为：.

2．【答案】

【解析】

因为，且，

所以由可得，

即，

解得且，

故函数的单调递减区间为，

故答案为：

3．【答案】

【解析】分析：求得，利用导数分析函数在上的单调性，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

详解：，，

令，则.

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减.

因为函数在上有两个极值点，

则，解得.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题考查利用函数在区间上的极值点个数求参数，解题的关键在于将问题转化为导函数的零点个数，并利用导数分析导函数的单调性，通过列不等式组来求解.

4．【答案】①

【解析】

由，可得．

由导函数的图象可知，当，时，

当时．

所以函数的增区间为，

减区间为．

则函数有两个极值点，

在时取得极大值，在时取得极小值．

由此可知①不正确，②③④，正确，．

故答案为：①．

5．【答案】

【解析】分析：先求出时的解析式，再利用对数的运算性质参变分离后结合导数可求参数的取值范围.

详解：设，则，故，

故不等式（ 且）对任意的恒成立即为：

对任意的恒成立即对任意的恒成立.

设，则，

因为，故，故在为减函数，

故，故，整理得到，

故.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：与对数有关的不等式的恒成立问题，我们可以利用对数的函数的图象，也可以利用对数的性质把底数分离出来，再结合导数求新函数的最值，从而求出参数的取值范围.

6．【答案】1

【解析】分析：条件（2）等价于在上单调递减，在上单调递增，条件（3）等价于在上恒成立. 运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性以及对称性，即可得到所求结论．

详解：由（2）可知当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

，在上不单调，故不满足条件（2），

不是“偏对称函数”；

又，在上单调递减，不满足条件（2），

不是“偏对称函数”；

对于，作出图象如图：

根据图象，满足②；且当，且时，都有，故其不满足（3）；

不是“偏对称函数”；

，显然满足.，

当 时，，，

当 时，，，

则当 时，都有，符合条件（2），

因为，

函数 在上单调递减，在 上单调递增，

由 的单调性知，当时，，

，

令，，

，

当且仅当即 时，“ “成立，

在， 上是减函数，

，即，

符合条件（3），故 是“偏对称函数”.

故答案为：1

【点睛】

关键点睛：解答本题的关键是判断函数 是否是“偏对称函数”，关键是判断函数 是否满足条件（3）. 要构造函数，结合导数和基本不等式的知识分析解答.

7．【答案】

【解析】

因为幂函数在上单调递减，

所以，解得

故答案为：

8．【答案】

【解析】

解析：设，，

所以在上单调递减，则，

∴，

设，则，，．

∴，即．

故答案为：．

9．【答案】

【解析】分析：，设的两根为，由求出的范围，然后用表示出．．．，然后可得，然后可求出其值域.

详解：

设的两根为，且

所以，或，，

所以

在上单调递增，在上单调递减

所以

所以

由可得或，由可得

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增

因为，所以的值域为

故答案为：

【点睛】

关键点睛：解答本题的关键是表示出.

10．【答案】

【解析】

因为函数在上单调递减，

所以在上恒成立，

因为，

所以在上恒成立，

参变分离得在上恒成立，

根据二次函数的图像性质得到：函数在上的最大值为，

所以实数a的取值范围是，

故答案为：.

11．【答案】

【解析】

当时，令可得：，

当时，令可得：，

令，

若，，

，为减函数，

若，，

，，

若，，为减函数，

若，，为增函数，

画出的图像，如下图：

 如要有4个零点，则，

故答案为：.

12．【答案】

【解析】分析：求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可．

详解：由题意可知，，

，．

当时，，

函数在区间上单调递增，则．

故答案为：

13．【答案】①②

【解析】分析：根据题干中给出的定义逐项检验后可得正确的选项.

详解：的导函数，，

故在上恒成立，

所以函数在上为“严格凸函数”，所以①正确；

的导函数，，

由可得，解得，

所以函数的“严格凸区间”为，所以②正确；

的导函数，，

因为为上的“严格凸函数”，故在上恒成立，

所以在上恒成立，即在上恒成立，

故，所以③不正确.

所以正确命题为：①②.

故答案为：①②.

14．【答案】

【解析】

由题意知对于恒成立，

可得对于恒成立，

令，只需要即可，

因为当时，最小为，

所以，

所以实数a的取值范围是，

故答案为：.

15．【答案】

【解析】

由可得，即，令，则单调递增，

由可得，

即，故，所以．

故答案为：