人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.4 数列的应用随堂练习题

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【精挑】5.4 数列的应用-1优选练习一．填空题1．已知数列的前项和，则数列的前10项和为______．2．为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加万元，该厂每年可以收入万元，若该厂年后，年平均盈利额达到最大值，则等于_______．（盈利额总收入总成本）3．数列满足，若该数列中有且仅有三项满足，则实数的取值范围是_________．4．数列满足，且，则数列前项的和为_________．5．________.6．1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为1，在线段AB上取两个点C，D，使得，以CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC．ED作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为，对任意的正整数n，都有，则a的最小值为__________．7．已知桶中盛有2升水，桶中盛有1升水．现将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；然后将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；若如此继续操作下去，则桶中的水比桶中的水多_______升．8．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植5棵，以后每天植树的棵数比前一天多5棵，则需要的最少天数n(n∈N)为___________.9．已知数列与前n项和分别为，，且，，则________．10．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例引入数列： 1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，故此数列称为斐波那契数列，通项公式为，该通项公式又称为“比内公式”（法国数学家比内首先证明此公式），是用无理数表示有理数的一个范例．设n是不等式的正整数解，则n的最小值为__________．11．__________.12．已知，则_____________.13．数列且，若为数列的前项和，则__________.14．已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，设，数列的前项的和为，则______．15．已知是数列的前项和，，，则______.
参考答案与试题解析1．【答案】【解析】分析：先令求出，当时由计算，再利用裂项求和即可求解.详解：当时，，当时，经检验满足，所以，所以，所以数列的前10项和为：，故答案为：.2．【答案】【解析】分析：设每年的营运成本为数列，根据题意可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，并求出年平均盈利额，利用基本不等式可求得年平均额的最大值，利用取等号的条件可求得的值.详解：设每年的营运成本为数列，依题意该数列为等差数列，且，，所以年后总营运成本，因此，年平均盈利额为，当且仅当时等号成立．故答案为：.【点睛】考查等差数列的应用，考查了利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题.3．【答案】【解析】分析：将题中递推关系变形得到，然后使用累加法求解得出数列是通项公式，然后求解不等式得出结果.详解：根据题意，可得到，，，将以上个式子累加可得，，，，又因为为爆炸型增长函数，因此可得从第4项起逐项递减，且可得为最大项，又因为只有三项满足，所以只有三项满足，即得.故答案为：.【点睛】方法点睛：本题考查求数列的通项公式，考查分组求和法，求通项公式除公式法外，如果递推式是数列前后的差，则可用累加法求解，如果是前后项的商，则可用连乘法求解，这是两种基本方法，有时还可能通过求出数列的前几项，归纳出数列的性质，得出结论.4．【答案】【解析】分析：利用累加法求出数列的通项公式，再利用裂项求和法可求得数列前项的和.详解：由题意可得，所以，，因此，数列前项的和为.故答案为：.5．【答案】【解析】由极限公式中分子．分母同时除以，可得，又由即可求得结果详解：，而∴故答案为：【点睛】本题考查了极限，根据一个大于1小于0的数，其指数趋于无穷大时极限为0，将极限公式变形求结果，属于简单题6．【答案】2.【解析】分析：根据图形之间的关系可得的递推关系，从而可求的通项公式，故可求a的最小值.详解：设第个图形中新出现的等边三角形的边长为，则当时，，设第个图形中新增加的等边三角形的个数为，则当时，，故，其中，由累加法可得，时，也符合该式，故，故对任意的恒成立，故即a的最小值为2.故答案为：2.【点睛】方法点睛：与图形相关的数列的计算问题，一般根据相邻图形的变化关系寻找目标数列的递推关系，再根据其形式得到通项，从而解决图形的计算问题.7．【答案】．【解析】分析：根据题意，得到，之间的关系，然后用数列知识求解．详解：根据题意可得，，，，即数列是以为首项，为公比的等比数列，，，．故答案为： 8．【答案】6【解析】根据题意每天植树棵树是首项为，公差为的等差数列，计算得到答案.详解：根据题意：每天植树棵树是首项为，公差为的等差数列，故，，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了等差数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.9．【答案】【解析】分析：由递推关系求得数列的通项公式，代入，根据裂项求和的办法求得.详解：因为，所以当时，，两式相减得：，整理得，，由知，，从而，即当时，，当时，，解得或0（舍），则首项为1，公差为1的等差数列，则．所以，则．∴．故答案为：.【点睛】方法点睛：型如的数列，可以裂项成的形式，进而求得前n项和.10．【答案】9【解析】分析：由,利用指数与对数互化得到，然后根据转化为，即求解.详解：设n是不等式的正整数解，∴,即，∴，∴，即，则，又单调递增，且，故答案为：9.11．【答案】【解析】故答案为：12．【答案】【解析】根据数列的通项公式可得，然后利用极限的运算法则可计算出所求极限值.详解：，.故答案为：.【点睛】本题考查极限的计算，考查计算能力，属于基础题.13．【答案】【解析】分析：由题意，当为奇数时，；当为偶数时，.然后根据分组求和法．裂项相消求和法及三角函数的周期性即可求解.详解：解：数列且，①当为奇数时，，②当为偶数时，，，则偶数项和为，所以 ，故答案为:.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是，将分成所有的奇数项的和与偶数项的和相加，然后利用裂项相消求和法求所有奇数项的和，利用周期性求所有偶数项的和.14．【答案】【解析】分析：由等比数列定义和等差数列通项公式可构造方程求得公差，由等差数列通项公式可求得，进而得到，采用并项求和的方式可求得.详解：设等差数列的公差为，由成等比数列得：，，整理可得：，，，，，，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查数列求和中的并项求和法，解题关键是能够根据通项公式的形式，确定将每两项的和看作一个整体来进行求和.15．【答案】【解析】分析：先用代换中的，然后两式相减可得，再利用并项求和法和等差数列的前项和公式计算．详解：因为，所以，两式相减得（），所以，，…，，所以．故答案为：．