数学选择性必修 第三册5.1.1 数列的概念一课一练

【精品】5.1.1 数列的概念课堂练习

一．填空题

1．已知数列，的通项公式分别为，设，若，则数列中的最大项是_________.若数列中的最大项，则的取值范围是_________.

2．已知：的极限为A，，则__________

3．已知数列的通项公式为，前n项和为，若对任意正整数，不等式恒成立，则实数m的取值范围是______.

4．已知数列中，，则中的最大项为______.

5．已知数列满足，（），则________.

6．已知数列共有21项，且， ，，则满足条件的不同数列有______个.

7．数列满足：，，则______.

8．已知数列的前项和为，，且（为常数）．若数列满足，且，则满足条件的的取值集合为________．

9．已知数列的通项公式为，那么满足的整数k的个数为______．

10．设数列满足，，，则：

（1）______；

（2）数列中最小项对应的项数为______．

11．已知数列满足，，则______．

12．已知数列满足：，，，，，，，…，以此类推______.

13．将正整数按下图方式排列，2019出现在第行第列，则 ______；

1

2    3    4

5    6    7    8    9

10    11    12    13    14    15    16

14．若数列满足，，则__________．

15．若数列满足，，则______.

参考答案与试题解析

1．【答案】2     

【解析】由数列的单调性，寻找数列的最大项，从而求解.

【详解】

①当时，

当时，该数列为增数列，故其最大项为；

当时，该数列为减数列，故其最大项为；

综上所述，则此时该数列的最大项是2.

②根据题意，为更好说明问题，构造函数，

在同一坐标系中绘制出与的函数图像，如下所示：

结合题意，由图可知，若使得的最大值小于2，只需：

当时，的函数值小于2即可，

故：，解得.

故答案为：2；.

【点睛】

本题考查数列的单调性，应该用函数的角度来思考问题.

2．【答案】

【解析】求，即求时的极限，利用的极限为A求出即可.

【详解】

解：由已知,

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列的极限，是基础题.

3．【答案】

【解析】设,若恒成立,需满足,利用与0的大小关系判断数列的单调性,进而求解即可

【详解】

由题,设,

若恒成立,则,

因为,

所以是递增数列,则,

即,即,

故答案为:

【点睛】

本题考查数列的单调性的应用,考查放缩法的应用

4．【答案】

【解析】利用配方法得出，结合，可知中或最大，计算出和的值，比较大小后可得出数列中的最大项.

详解：，所以，数列中或最大，

，，因此，数列中的最大项为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列中最大项的求解，考查数列单调性的应用，考查计算能力，属于基础题.

5．【答案】31

【解析】根据数列的首项及递推公式依次求出．．即可.

【详解】

解：，

故答案为：

【点睛】

本题考查利用递推公式求出数列的项，属于基础题.

6．【答案】

【解析】转化条件得或，求出满足的个数，再利用组合的知识即可得解.

详解：， 或，

设满足的个数为，

，

，解得，

结合组合的应用，满足要求的数列有个.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了数列递推公式的应用，考查了组合的应用与转化化归思想，属于中档题.

7．【答案】

【解析】可通过赋值法依次进行推导，找出数列的周期，进而求解

【详解】

由，，

当时，；当时，；当时，；

当时，；当时，，当

故数列从开始，以3为周期

故

故答案为：

【点睛】

本题考查数列的递推公式，能根据递推公式找出数列的规律是解题的关键，属于中档题

8．【答案】

【解析】利用可求得；利用可证得数列为等比数列，从而得到，进而得到；利用可得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围，根据求得结果.

当时，    ，解得：

当且时，

，即：

数列是以为首项，为公比的等比数列   

    ，解得：

又    或

满足条件的的取值集合为

本题正确结果：

9．【答案】2

【解析】根据数列的通项公式，去绝对值符号，对进行讨论，进而求得的表达式，解方程即可求得结果．

【详解】

∵，

∴若，则，

∴与矛盾，

∴，

∴

，

解得或，

∴满足的整数，5，即整数k的个数为2，

故答案为：2.

【点睛】

本题考查根据数列的通项公式求数列的和，体现了分类讨论的数学思想，去绝对值是解题的关键，考查运算能力，属中档题．

10．【答案】1010    9或10 

【解析】（1）根据递推关系：当为奇数时，，即可求解；

（2）当为偶数时，结合求出公式，即可得解.

【详解】

（1）当为奇数时，，

即，．

（2）由，知

，

于是，由对勾函数的性质知，或．

故答案为：（1）1010；（2）9或10.

【点睛】

此题考查根据数列的递推关系进行数列求和以及求通项公式，求数列的最小项，关键在于根据递推关系合理变形，找准利于解题的关系或代数特征.

11．【答案】

【解析】由，把代入可确定数列的周期，，求出即可。

【详解】

由，可得，，，

所以数列为周期数列，周期，所以，

故答案为：

【点睛】

本题考查数列的周期性，属于基础题。

12．【答案】

【解析】根据数列项的规律进行分段，分析出第2020项所属的那一段，再结合规律即可求值．

【详解】

按分母分段，分母为的分数有个，

因为，故2020属于第64段，

则应该是分母为65的第四数，即.

故答案为：

【点睛】

本题考查数列的递推式，解题时要善于合理地分段，考查了逻辑推理能力，属于基础题．

13．【答案】128

【解析】观察数阵可知：前行一共有个数，且第行的最后一个数为，且第行有个数，由此可推断出所在的位置.

【详解】

因为前行一共有个数，且第行的最后一个数为，

又因为，

所以在第行，

且第45行最后数为，

又因为第行有个数，，

所以在第列，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列在数阵中的应用，着重考查推理能力，难度一般.分析数列在数阵中的应用问题，可从以下点分析问题：观察每一行数据个数与行号关系，同时注意每一行开始的数据或结尾数据，所有行数据的总个数，注意等差数列的求和公式的运用.

14．【答案】3

【解析】根据可得,从而得到.

【详解】

解:∵,∴,

∴,∴,

∴,又,

∴.

故答案为:3.

【点睛】

本题考查了利用递推公式求数列中某一项的值,属基础题.

15．【答案】

【解析】直接利用数列的递推关系式的应用和叠乘法的应用求出数列的通项公式，进一步利用数列的通项公式求出结果．

【详解】

解：数列满足，，①

当时，，②

①②得，

所以，

，

，

所有的式子相乘得，

所以

即首项符合通项，

故，

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，叠乘法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．