人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.1 数列基础5.1.1 数列的概念当堂达标检测题

【优选】5.1.1 数列的概念随堂练习

一．填空题

1．设数列满足，，则数列的通项＝        .

2．数列中，已知，且，则等等于______.

3．设，则数列中第________项的值最大．

4．设数列满足，，，则：

（1）______；

（2）数列中最小项对应的项数为______．

5．已知数列3,33,333,3333，则通项_________.

6．数列的前项和，则__________．

7．已知数列从第项起每项都是它前面各项的和，且，则的通项公式是__________．

8．若数列满足，且对任意，有，则的取值范围是________.

9．数列的通项公式，则________.

10．写出数列，，，，的一个通项公式______．

11．已知数列，若对任意正整数都有，则正整数______；

12．设数列满足，则________.

13．已知数列，满足.若则的最小值是___________，若，且存在常数，使得任意，则的取值范围是______________.

14．数列满足，，则______.

15．数列中，已知，则=______

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】【详解】

由得

，

两式相减即得.，

即．

2．【答案】

【解析】利用累加即可得到答案.

【详解】

因为，所以，

所以

故答案为：50

【点睛】

本题考查了累加法求数列中的项的值，属于基础题.

3．【答案】5

【解析】结合二次函数的性质,可得,即可求出答案.

【详解】

因为,所以当时,取得最大值.

即数列中第5项的值最大.

故答案为:5.

【点睛】

本题考查了数列的最大项,利用二次函数的最值是解决本题的关键,属于基础题.

4．【答案】1010    9或10 

【解析】（1）根据递推关系：当为奇数时，，即可求解；

（2）当为偶数时，结合求出公式，即可得解.

【详解】

（1）当为奇数时，，

即，．

（2）由，知

，

于是，由对勾函数的性质知，或．

故答案为：（1）1010；（2）9或10.

【点睛】

此题考查根据数列的递推关系进行数列求和以及求通项公式，求数列的最小项，关键在于根据递推关系合理变形，找准利于解题的关系或代数特征.

5．【答案】

【解析】直接利用等比数列求和公式计算得到答案.

【详解】

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了数列的通项公式，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.

6．【答案】

【解析】根据和项与通项关系求结果.

【详解】

当时，

当时，

因此

故答案为：

【点睛】

本题考查根据和项求通项，考查基本分析求解能力，属基础题.

7．【答案】

【解析】列举,可找到是从第项起的等比数列,由首项和公比即可得出通项公式.

【详解】

解：

,即,

所以是从第项起首项,公比的等比数列.

通项公式为：

故答案为：

【点睛】

本题考查数列的通项公式,可根据递推公式求出.

8．【答案】

【解析】根据题意，根据推出的范围，再结合，即可求解出的取值范围。

【详解】

已知，

①    若，即时，

可得

解得或（舍去）

②若，即时，

可得

解得（舍去）

因此。

又对任意，有

即

解得或（舍去，当时，不满足）

综上所述，。

【点睛】

本题主要考查数列的单调性的应用。

9．【答案】

【解析】由题意得出，然后在分式和分母中同时除以，于是可计算出所求极限值.

【详解】

，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列极限的计算，解题时要熟悉一些常见极限的值，考查计算能力，属于基础题.

10．【答案】

【解析】根据分子和分母的数字特征，以及摆动数列的特点可总结得到通项公式.

【详解】

分子为，即.

分母为，即.

又数列为摆动数列，首项为负，可得一个通项公式为：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据数列的项写出通项公式的问题，关键是能够准确观察出数列中的项的各个构成部分的变化规律.

11．【答案】9

【解析】分析数列的单调性，以及数列各项的取值正负，得到数列中的最大项，由此即可求解出的值.

【详解】

因为，所以时，，时，，

又因为在上递增，在也是递增的，

所以，又因为对任意正整数都有，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列的单调性以及数列中项的正负判断，难度一般.处理数列单调性或者最值的问题时，可以采取函数的思想来解决问题，但是要注意到数列对应的函数的定义域为.

12．【答案】

【解析】先求得的值，然后利用退作差法，求得，由此求得的值.

【详解】

由①得：

当时，；

当时，②， ①-②得.

所以.

故答案为：.

【点睛】

本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，属于基础题.

13．【答案】     

【解析】第一空：令,将问题转化为函数问题,则表示点与原点连线的斜率，观察图象即可求解.第二空：将问题转化为当,则，结合二次函数的最值以及翻折后图象列式即可求解.

【详解】

（1）令，， 表示点与原点连线的斜率，因为，所以，由于为最高点，所以最小，等于.

（2）当时，显然存在；当时，由，则 ，由图象可知，使得任意成立，则需即  又,所以,故的取值范围是.

【点睛】

本题考查数列的综合应用.数列是一种特殊的函数，所以在求解数列最值问题可以借助函数的思想解决.

14．【答案】

【解析】由，得，累加法可求.

详解：.

,

以上各式两端分别相加，得.

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查累加法，考查计算能力，属于基础题.

15．【答案】-1

【解析】由递推公式可得数列具有周期性,,则,进而求得即可

【详解】

由题,,所以；

,所以数列具有周期性,,

因为,则,

当时,,所以,

故答案为：

【点睛】

本题考查数列的周期性的应用,考查赋值法的应用