高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.2 等差数列的前n项和课时练习

【特供】5.2.2 等差数列的前n项和-5随堂练习

一．填空题

1．设是等差数列的前n项和，若，则______.

2．今年冬天流感盛行，据医务室统计，北校近30天每天因病请假人数依次构成数列，已知，，且，则这30天因病请假的人数共有人______.

3．数列中：则__________

4．等差数列的前n项和为，，，则__________；__________.

5．数列中，前项和为．若，，（，），则________；________．

6．如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第11行第7个数为____（用具体数字作答）

7．等差数列中，，，给出下列命题：①，②，③是各项中最大的项，④是中最大的值，⑤为递增数列.其中正确命题的序号是______.

8．已知数列的前项和，则______.______.

9．在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，，数列的前n项和为，则数列的前n项的和为______.

10．等差数列前项和为，已知则中第_________项最大.

11．设公差为d的等差数列的前n项和为，若，，则________，取最小值时，________．

12．设数列满足，且对任意正整数，总有成立，则数列的前项和为______.

13．已知数列满足：，，则数列的通项公式是___________；令当为单调递增数列时，实数的取值范围是___________

14．将正偶数集合从小到大按第组有个偶数进行分组：，，，则2020位于第_______组.

15．设等差数列的前项和为，若，，则______，的最大值是______.

参考答案与试题解析

1．【答案】65

【解析】根据等差数列的性质可转化条件为，求得后即可求得.

【详解】

，

即，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了等差数列的性质和等差数列前项和的求解，属于基础题.

2．【答案】255

【解析】根据题目所给递推关系找到数列的规律，由此求得前天的请假人数之和.

详解：依题意，，且，

所以，

，

，

，

以此类推，数列的奇数项均为，偶数项是首项为．公差为的等差数列，

所以前项的和

.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查分组求和法，考查等差数列前项和公式，属于中档题.

3．【答案】

【解析】根据递推公式，构造等差数列，进而求解通项公式.

【详解】

因为

故，故是首项为1，公差为3的等差数列，

则，解得，即可得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查构造数列求解通项公式，属经典题型.

4．【答案】     

【解析】先利用已知条件求得的值，由此求得，进而利用裂项求和法求得

详解：依题意，解得，

所以，

所以，

所以

.

故答案为：(1).     (2).

【点睛】

本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算，考查裂项求和法，属于中档题.

5．【答案】    29 

【解析】根据，，（，），往后列举，可得到数列周期，由，，，即得解

详解：由题意，，，（，），

故数列为周期的周期数列

由于

故

故答案为：，29

【点睛】

本题考查了数列周期性的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题

6．【答案】12288

【解析】设表示第行的第个数，根据等差数列的性质以及递推公式求通项的方法得出，从而得出这个数表中的第11行第7个数.

详解：设表示第行的第个数

由数表可知，每一行成等差数列，且第行的公差为

则

，则

即数列是首项为，公差为的等差数列

则，即

即

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了求等差数列的通项公式以及求等差数列的项，属于中档题.

7．【答案】①②④

【解析】直接利用等差数列中，，，进行转换，进一步求出公差为负值，且，，最后求出结果．

详解：等差数列中，，，所以，则．

所以，则．

所以①正确．

②整理得正确．

③是各项中最大的项，应该是最小的正数项．故错误．

④是中最大的值，正确；

⑤为递增数列．错误，应改为递减数列．

故答案为：①②④．

【点睛】

本题主要考查等差数列的性质的应用．数列的单调性的应用．数列的前项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．

8．【答案】     

【解析】先利用求出，在利用裂项求和即可的值.

详解：

，

，

当时，.

故，满足

又

故答案为：；.

【点睛】

本题考查和的关系求通项公式，以及裂项求和，解题关键是掌握裂项求和的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

9．【答案】

试题分析：首先利用方程组求出数列的通项公式，进一步求出数列的通项公式，进一步利用分类讨论思想的应用求出数列的和.

详解：解：各项均为正数的等比数列中，若，，

所以，

由于公比，

解得，

所以，解得.

所以.

由于.

所以，

则，

当时，

.

当时，

.

所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式，等差数列的前项和公式，考查分类讨论思想和数学运算能力，是中档题.

【解析】

10．【答案】6

【解析】根据已知条件，判断首项和公差的正负，利用等差数列前项和的性质，即可容易求得.

详解：因为，

故可得，

故,

由等差数列的性质可知：

，

故当时，取得最大值.

故答案为：.

【点睛】

本题考查等差数列的下标和性质，前项和的函数性质，属综合中档题.

11．【答案】3    4 

【解析】结合等差数列的通项公式及求和公式可得，从而可求出数列的首项和公差，从而可得，结合二次函数的性质，可求出取最小值时的值.

详解：解：因为是等差数列，所以 ，解得 ，

所以，

因为的图象开口向上，对称轴为，

由，所以当时，取最小值.

故答案为:;.

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前项和.本题的关键是求出数列的首项和公差.

12．【答案】

【解析】由递推关系，可求出的值，由，可知数列是以4为周期的数列，进而可得.

详解：由，可得，

因为，所以，同理可得，，，

所以数列是以4为周期的数列，且，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列求和，考查周期数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

13．【答案】     

【解析】根据累加法以及等差数列求和公式求得数列的通项公式；根据单调性得不等式恒成立，利用变量分离法解得结果.

详解：

当时，

当时，

综上，

因为为单调递增数列，所以 对恒成立,

即对恒成立,

因为

故答案为：，

【点睛】

本题考查利用累加法求数列通项公式．等差数列求和．数列单调性，考查综合分析求解能力，属中档题.

14．【答案】32

【解析】首先可得2020是第1010项，根据等差数列求和公式，利用每一组个数特点，可得前31组共992项，前32组共1056项，可得结果.

【详解】

据题意：

，

所以2020是第1010项

且每一组的个数成等差数列2，4，6,

所以可知前31组共项，

前32组共项

所以2020在第32组

故答案为：32

【点睛】

本题考查等差数列的应用，属基础题.

15．【答案】     

【解析】利用等差数列前项和公式，列出方程组，求出首项和公差的值，利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式，可求出的表达式，然后利用双勾函数的单调性可求出的最大值.

【详解】

（1）设等差数列的公差为，则，解得，

所以，数列的通项公式为；

（2），，

令，则且，，

由双勾函数的单调性可知，函数在时单调递减，在时单调递增，

当或时，取得最大值为.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式．前项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．