高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.5 数学归纳法同步测试题

【优质】5.5 数学归纳法-3课堂练习

一．填空题

1．观察下列各式：，...，则__________．

2．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： ， ， ， ，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则__________．

3．设数列{an}满足a1=2,an+1=2an+2,用数学归纳法证明an=4·2n-1-2的第二步中,假设当n=k时结论成立,即ak=4·2k-1-2,那么当n=k+1时,____.

4．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把这样的数称为“三角形数”，而把

     这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻

     “三角形数”之和，下列四个等式：①；②；③；         

      ④ 中符合这一规律的等式是_____________．（填写所有正确结论的编号）

5．用数学归纳法证明“”时，由时等式成立推证时，左边应增加的项为__________ .

6．已知，则_________.

7．用数学归纳法证明“能被整除”的过程中，当时，式子应变形为____________

8．有粒球，任意将它们分成两堆，求出两堆球的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求出这两堆球的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求出这两堆球的乘积，直到每堆球都不能再分为止，记所有乘积之和为.例如对4粒有如下两种分解：(4)→(1,3) →(1,1,2) →(1,1,1,1)，此时＝1×3+1×2+1×1=6; (4)→(2,2) →(1,1,2) →(1,1,1,1)，此时＝2×2+1×1+1×1=6.于是发现为定值，请你研究的规律，归纳＝__________.

9．设函数，则方程的根为____.

10．数列满足，归纳出数列的通项公式为________.

11．用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是______.

12．设数列的前项和为，已知，猜想__________．

13．在如下数表中，已知每行．每列中的数都成等差数列，那么，位于下表中的第行第列的数是___________.

14．已知，把数列的各项排成如下的三角形：

记表示第行的第个数，则___．

15．；

；

；

；

照此规律，当时，__________．

参考答案与试题解析

1．【答案】123

【解析】分析：通过观察找到规律从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项从而得解.

详解：观察可得各式的值构成数列1,3,4,7,11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1,3,4,7,11，18,29,47,76,123，第十项为123，即，

故答案为123.

点睛：本题主要考查了数列的归纳猜想，属于中档题.

2．【答案】99

【解析】， ， ， ，则按照以上规律可知：

∴

故答案为：99

点睛：本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一．通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二．从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列．等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.

3．【答案】

【解析】分析：当n=k+1时，把代入，然后变形整理即可.

详解：∵ak=4·2k-1-2

∴ak+1=2ak+2=2（4·2k-1-2）+2=

故答案为：

点睛：本题考查数学归纳法第二步，解题的关键是合理利用假设，整理变形成统一形式即可.

4．【答案】①③④ .

【解析】分析：根据题意，归纳可得“三角形数”与“正方形数”的规律，进而可得两者之间的关系为，据此依次验证4个表达式可得答案．

详解：根据题意,分析可得：“三角形数”的规律是；

“正方形数”的规律是，；

且正方形数是这串数中相邻两数之和,即；

对于①,在中，令n=6，可得36=15+21；

对于②，18和31不是三角形数；

对于③,在中，令n=8，可得；

对于④，在中，令n=9，可得

只有①③④是对的；

故答案为：①③④.

点睛：常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列．等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.

5．【答案】

【解析】分析：时，左端为， 时，左端为，相减即可得结果.

详解： 因为假设时，命题成立，左端为；

当时，左端为，

两式相减可得，从“”需增添的项是

，故答案为.

点睛：项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.

6．【答案】

【解析】根据题意共有项且各项的分母从变到，故得到的代数式，再用表示

【详解】

，

故答案为

【点睛】

本题主要考查了数学归纳法的应用，考查了数列的递推式，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用。

7．【答案】

【解析】分析：用数学归纳法证明：能被6整除的过程中，当时，式子应变形为.

详解：用数学归纳法证明：能被6整除的过程中，当时，式子应变形为，由于假设能够被6整除，而能被2整除，因此能被6整除，故答案为.

点睛：该题考查的是有关数学归纳法的问题，所涉及的知识点是从假设成立，推导成立时，一定要用到假设时的条件，从而得到结果.

8．【答案】

【解析】由题意得

，此时；

，此时；

，此时；

，此时；

由此可猜想： ．

答案：

点睛：破解归纳推理的思维步骤

(1)发现共性，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；

(2)归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；

(3)检验，得结论，对所得的一般性命题进行检验．

9．【答案】

【解析】

.

由得，

所以.

即方程的解为.

答案：

10．【答案】  

【解析】分析：利用递推关系式可求出a2，a3，a4，…，进而猜想归纳出其通项公式

详解：由题意可得：a1=1，且an+1=，

则a2==，a3==，a4==,

∴通过观察归纳出规律：其通项应是分子为1，分母与相应的下标相同，

故an=（n∈N）．

可用数学归纳法或取倒数法加以推理证明，

故答案为：   ．

点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理．变形，变成等差．等比数列，或用累加法．累乘法．迭代法求通项．

11．【答案】

【解析】在等式中，当时，，而等式左边起始为的连续的正整数的和，故时，等式左边的项为，故答案为.

12．【答案】

【解析】分析：令，可求得，由，得，

两式相减，得，可依次求出，观察前四项，找出规律，从而可得结果.

详解： 中令可求得

由，得，

两式相减，得，

即，

可得

归纳可得，故答案为.

点睛：归纳推理的一般步骤: 一．通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二．从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列．等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.

13．【答案】

【解析】从表格可知，第n行的等差数列的首项为n，公差也为n，根据等差数列的通项公式，其位于第n+1个数是n+(n-1)n= n+n2，所以位于下表中的第n行第n+1列的数是n+n2.

考点：等差数列的通项公式，观察与归纳的能力.

14．【答案】

【解析】第一行有个数,第二行有个数,第三行有个数,故每行数目成等差数列.前行共有个数,故第行,第个数为的的第个数,故.

【点睛】本小题主要考查归纳推理,考查等差数列的概念与基本的计算,考查观察分析问题的能力,考查归纳推理.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)；③检验猜想．有多少项是本题解题的关键.

15．【答案】

【解析】分析：通过所给示例，找出通项公式变化规律即可。

详解：

所以归纳可得

点睛：本题考查了归纳推理的简单应用，属于简单题。