高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.5 数学归纳法练习题

【精编】5.5 数学归纳法-2课堂练习

一．填空题

1．将循环小数化为分数______．

2．用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是_________．

3．设，则

=      

4．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是____．

5．设，且，则______.

6．若，则对于

__________．

7．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有个点，每个图形总的点数记为,则_______；_______.

8．凸n边形的对角线的条数为，则凸边形有对角线条数为______.

9．用数学归纳法证明，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是_____项．

10．从，概括出第个式子为_______。

11．不等式不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：__________.

12．用数学归纳法证明时，从“到”，左边需增乘的代数式是___________.

13．己知数列满足，，则_____

14．设，且存在，则极限______．

15．已知f(n)＝1＋＋＋＋(n∈N)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k＋1)－f(2k)等于________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】设①，首先把等式两边乘以100得到②，②-①即可得到，解方程即可求解.

详解：设，①

∴两边同乘以100，得②

∴②-①，得，

∴，

∴.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了利用一元一次方程把无限循环小数化为分数的变形方法，解题的关键是充分理解循环小数的特点，然后利用其特点变形得到一元一次方程解决问题.

2．【答案】

【解析】式子的左边应是分母从1，依次增加1，直到，所以答案为。

考点：本题主要考查数学归纳法的概念及方法步骤。

点评：简单题，理解式子的结构特点，计算要细心。

3．【答案】n

【解析】根据所给函数关系，分别求出f（1）+f（2）++f（n）；f1（1）+f2（1）++fn（1），即可求得结论．

【详解】

∵

∴f（1）+f（2）++f（n）

∵f1（1），f2（1）＝f1[f（1）]＝f1（），fn（1）

∴f1（1）+f2（1）++fn（1）

∴f（1）+f（2）++f（n）+f1（1）+f2（1）++fn（1）＝n

故答案为n

【点睛】

本题考查数列与函数的关系，考查了分析解决问题的能力，属于中档题．

4．【答案】假设n＝2k－1(k∈N)时正确，再推n＝2k＋1(k∈N)时正确

【解析】【详解】

因为n为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题先假设n＝2k－1(k∈N)正确，再推第k＋1个正奇数，即n＝2k＋1(k∈N)时正确．

5．【答案】

【解析】根据递推，然后用数学归纳法证明即可.

详解：解：，，

，

，

猜想，

用数学归纳法证明如下：时，结论显然成立；

假设时，，

时，，

此示时，结论成立

综合以上有，

故答案为：

【点睛】

考查递推法求数列通项，注意用数学归纳法证明即可；基础题.

6．【答案】

【解析】由，求出从而可得到结论.

【详解】

，

，

，

，故答案为.

【点睛】

本题考査数学归纳法的定义，属于基础题. 项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.

7．【答案】     

【解析】利用归纳法可得，从而可得的值，再利用裂项相消法可求给定的和．

【详解】

由图可以得到， ，

依次类推，则有，所以，

又

，

故分别填：.

【点睛】

（1）归纳法可分为不完全归纳和完全归纳，注意不完全归纳得到的结论不一定正确（必要时应给予证明）.

（2）数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.

8．【答案】

【解析】在凸n边形的一边外加一点，此点与该边的两点连接可得到凸边形，由此可得对称线增加的情形．

详解：在凸n边形的一边外加一点，此点与该边的两点连接可得到凸边形，因此原凸n边形的这条边变为对角线，增加的第个顶点与原来凸n边形的顶点的连线也是增加的对角线，共增加了条，所以．

故答案为：．

【点睛】

本题考查数学归纳法，掌握数学归纳法中从到的变化是解题关键．

9．【答案】

【解析】根据等式时，考虑和时，等式左边的项，再把时等式的左端减去时等式的左端，即可得到答案．

【详解】

解：当时，等式左端，

当时，等式左端，

所以增加的项数为：

即增加了项．

故答案为：．

【点睛】

此题主要考查数学归纳法的问题，解答的关键是明白等式左边项的特点，再把时等式的左端减去时等式的左端，属于基础题．

10．【答案】.

【解析】分析：根据前面的式子找规律写出第n个式子即可.

详解：由题得=

故答案为：

点睛：（1）本题主要考查不完全归纳，考查学生对不完全归纳的掌握水平和观察分析能力.(2)不完全归纳得到的结论，最好要检验，发现错误及时纠正.

11．【答案】

【解析】将不等式中的数字变为，得出，然后利用导数证明出当时，即可，即可得出不等式对任意的恒成立.

【详解】

，，，猜想，对任意的，.

下面利用导数证明出当时，，即证，即证，

构造函数，则，当时，.

所以，函数在区间上单调递减，当时，.

所以，当且时，，所以，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列不等式的证明，考查了归纳法，同时也考查了导数在证明数列不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.

12．【答案】.

【解析】从到时左边需增乘的代数式是，化简即可得出．

【详解】

假设时命题成立，则，

当时，

从到时左边需增乘的代数式是．

故答案为：.

【点睛】

本题考查数学归纳法的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题．

13．【答案】

【解析】由递推公式得，又能得到，再求出几项，这样可以猜想数列的通项公式，再由数学归纳法证明.

【详解】

由，可得，

且，两式作差得，

，

猜想，现用数学归纳法证明：

当时，显然成立；

假设当时成立，即

当时，，即时，也成立，

综上.

【点睛】

本题考查了数列的递推公式．数学归纳法.

14．【答案】

【解析】由题意得出，可得出，进而可计算出的值.

详解：已知，且存在，，，

因此，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列极限的计算，考查数列极限性质的应用，考查计算能力，属于基础题.

15．【答案】＋＋＋

【解析】∵f(2k＋1)＝1＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋，

f(2k)＝1＋＋＋＋＋＋＋＋，

∴f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋＋.