人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.3 基本初等函数的导数同步测试题

【精编】6.1.3 基本初等函数的导数-1课堂练习

一．填空题

1．若曲线在处切线的倾斜角为θ，则的值为________.

2．曲线在处的切线方程为________.

3．曲线在点处的切线方程是，则切点的坐标是____________.

4．在平面直角坐标系xOy中，过点作斜率为（e为自然对数的底数）的直线，与曲线相切于点T，则实数t的值为______.

5．已知，若函数有4个零点，则实数k的取值范围是______．

6．函数在处的切线方程为______.

7．已知函数，则曲线在点处的切线的方程为__________.

8．曲线在点处的切线方程为___________

9．函数在处的切线方程为　　．

10．已知函数，其中，若过原点且斜率为k的直线与曲线相切，则 的值为_______．

11．已知函数的导函数是，且满足，则_________

12．已知奇函数的定义域为R，且当时，，则曲线在点处的切线斜率为________.

13．已知函数．则函数在处的切线方程为___________．

14．过点与曲线相切的直线方程为______________.

15．曲线在点处的切线方程为________________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】求出该点的导数，该点的导数就是倾斜角θ的正切，再把化成正切即可.

详解：由于，则，

故

故答案为：.

【点睛】

考查求函数在某一点的导数及三角恒等变形的能力；基础题.

2．【答案】

【解析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式可得切线方程.

详解：因为，所以，

所以切线的斜率为，又时，，

由点斜式可得切线方程为，即.

故答案为：

【点睛】

本题考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，属于基础题.

3．【答案】

【解析】由导数的几何意义，求得切点处的切线的斜率，得到，求得，分类讨论，即可求解.

详解：由函数，则，

设切点的坐标为，则斜率，

所以，解得，

当时，切点为，此时切线方程为；

当，切点为，不满足题意，

综上可得，切点为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记曲线在某点处的切线方程的求法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

4．【答案】

【解析】求出导数，由导数几何意义求得切点的横坐标，从而得切点坐标，再由直线斜率公式求得．

详解：因为，所以.

设点，则.

又因为，解得，.

故答案为：．

【点睛】

本题考查导数的几何意义，在不知切点时，一般要设出切点坐标，然后由导数几何意义得切线斜率，切线方程，结合其它条件可求得切点坐标．

5．【答案】

【解析】转化条件得有4个零点,令，画出两函数的图象后可得当函数过点和时．函数与的图象相切时，函数与的图象恰有3个交点；当在两者范围之间时，满足条件，利用导数的性质求出函数与的图象相切时的值即可得解.

详解：由题意有4个零点即有4个零点,

设，则恒过点，

函数与的图象有4个交点，

在同一直角坐标系下作出函数与的图象，如图，

由图象可知，当时，函数与的图象至多有2个交点；

当函数过点和时，，此时函数与的图象恰有3个交点；

当函数与的图象相切时，

设切点为，，

，，解得，

，此时函数与的图象恰有3个交点；

当时，两函数图象至多有两个交点；

若要使函数有4个零点，则.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了函数的零点问题和导数的几何意义，考查了数形结合思想，属于中档题.

6．【答案】

【解析】根据，求导，然后求得，，再写出切线方程.

详解：因为，

所以，

所以，

所以在处的切线方程为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

7．【答案】

【解析】先求导函数，求得在切点处的直线斜率；再根据点斜率求得切线方程．

详解：因为，

所以，

则所求切线的方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，过定点切线方程的求法，注意区分切点是否在曲线上.属于基础题.

8．【答案】.

【解析】首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，由点斜式求出切线方程；

详解：解：因为定义为

所以

所以

所以

故切线方程为，整理得

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.

9．【答案】

【解析】函数的导数为，

可得在处的切线的斜率，且切点为，

则切线的方程为，即为，

故答案为：．

10．【答案】

【解析】设切点为，根据导数值等于切线斜率，切点在曲线上，也在直线上，联系方程组并化简即可求得答案.

详解：设切点为，则，又，则，

又切线方程为：，则，则，

得，得，故.

 故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义，设出切点，应用导数值等于切线斜率．切点在曲线上．也在直线上列式并化简是解决问题的关键.

11．【答案】

【解析】求导得到导函数，取解得答案.

详解：，则，故，

解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了导数的计算，意在考查学生的计算能力，确定是常数是解题的关键.

12．【答案】.

【解析】根据函数为奇函数求出当时，，根据导数的几何意义可得结果.

详解：因为函数为奇函数，所以，

因为当时，，所以当时，，

所以，，

所以曲线在点处的切线斜率为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了由奇函数求解析式，考查了导数的几何意义，属于基础题.

13．【答案】

【解析】先求导数，然后利用导数求出斜率，最后利用点斜式写出切线方程即可．

详解：解：

，

，

故切线方程为：，即．

故答案为：．

【点睛】

本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法．属于基础题．

14．【答案】.

【解析】设切点坐标，写出切线方程，根据切线过点，再求出切点坐标，从而得切线方程.

详解：设切点坐标为，

由得，

切线方程为，

切线过点，

，即，

，

即所求切线方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的几何意义．求过某点的切线，应先设切点坐标，由导数的几何意义写出切线方程，代入所过点的坐标求出切点坐标，从而得出切线方程．

15．【答案】

【解析】根据导数的几何意义，求得在点处的切线的斜率为，进而可求解切线的方程，得到答案．

详解：由题意，函数，则，则，

即在点处的切线的斜率为

又由，即切点的坐标为，

所以在点处的切线的方程为，

故答案为

【点睛】

本题主要考查了利用导数的几何意义求解在某点处的切线方程，其中解答中熟练应用导数的几何意义，求得切线的斜率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．