数学6.2.1导数与函数的单调性课堂检测

【精编】6.2.1 导数与函数的单调性-2课堂练习

一．填空题

1．

设，若，则不等式的解集为____________.

2．已知函数，若实数互不相等，且，则的取值范围为______．

3．

若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是________________．

4．

已知数列满足不等式（其中，），对于数列给出下列五个结论：

①；

②；

③；

④；

⑤数列的通项公式可以是.

以上结论正确的有___________.

5．已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是______.

6．

函数与的图像如图所示，则的递增区间是________．

7．

当时，的单调递减区间是___________.

8．

若对任意的，且，，则的最小值是_____.

9．

已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是________.（填上所有你认为正确的序号）

10．

已知函数的定义域为，且．若对任意，，则的解集为______．

11．

若对任意的．，且，，则的最小值是_______________________．

12．

已知函数，若函数的递减区间是，则实数a的值是__________.

13．

已知在区间上为单调递增函数，则实数的取值范围是__________．

14．已知函数若存在互不相等的正实数，满足且，则的最大值为_____．

15．

已知，，其中，则____________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】

因为，且，，所以，解得.

，

在R上单增.

可化为：

解得：.

不等式的解集为

故答案为：

2．【答案】

【解析】分析：画出的图象，结合图象得的取值范围，再由，，用表示，结合函数导数可求出的取值范围.

详解：解：令，解得，当时，，所以函数的图象如图，

当时，或，因为，所以，，，

因为，所以，因为，所以，

所以，设 ，

所以，解得或（舍去），

当时，，单调递减；当时，，

单调递增，所以当时，，

由，所以取值范围为，

故答案为: .

【点睛】

本题考查了函数图象的应用，考查了函数导数的应用，属于难题.本题的关键是用表示.

3．【答案】

【解析】

函数在区间上是单调减函数，．

且，令，解得：．

，解得．实数的取值范围是．

故答案为：.

4．【答案】①④⑤

【解析】

①由条件可知，，即，故①正确；

②由条件可知，即，

可知，故②错误；

③设数列，满足，此时，，此时，不满足，故③错误；

④，

即，，，这3个式子相加得 ，即，故④正确；

⑤由（其中，）联想到当时，由，可以得到函数是凹函数，如图：

由于数列也是特殊的函数，故可判断函数，是否是凹函数，由图象可知，即曲线上每点的切线斜率即导数是单调递增的，，设，，满足条件，故⑤正确.

故答案为：①④⑤

5．【答案】

【解析】分析：根据的范围确定的值域和的值域，根据成立，推出的值域和的值域交集非空，先求二者交集为空集时的取值范围，进而可求交集非空时的取值范围.

详解：当时 ，在上单调递减，

所以，即，，

当时，，

所以，可得在单调递增，

所以，即，

所以的值域为，

因为且 ，

所以，即，

因为，所以，所以

所以的值域为，

因为存在，使得成立，所以，

若，则或，此时或，

所以当时，的取值范围是：.

所以实数的取值范围是，

故答案为：

【点睛】

本题考查了函数的单调性的判断，利用了导数研究函数的单调性，同时考查了利用单调性研究函数的值域问题，属于中档题.

6．【答案】

【解析】

，

令，即，，

由图知：实线为函数的图象，虚线为的图象，

所以当时，，

所以的递增区间是.

故答案为：

7．【答案】

【解析】

由题意，函数，可得，

令，即，解得，

所以函数的单调递减区间为.

故答案为：.

8．【答案】

【解析】

由，得：，

令，则在上单调递减，

，当时，；当时，；

的单调递减区间为，，的最小值为.

故答案为：.

9．【答案】②

【解析】

由函数的图象可知，函数在单调递增，在单调递减，故导函数在区间内有，在区间内有，即导函数的图象可能是选项②.

故答案为②

10．【答案】

【解析】

设，则，

因为对任意，，所以，

所以对任意， 是单调递增函数，

因为，所以，

由，可得，

则的解集.

故答案为：.

11．【答案】

【解析】

对任意的．，且，，易知，

则，所以，，即，

令，则函数在上为减函数，

因为，由，可得，

所以函数的单调递减区间为，

所以，，所以，，因此，实数的最小值为.

故答案为：.

12．【答案】

【解析】

由题意，函数，可得，

因为函数的递减区间是，可得，

即，是方程的两个实数根，

由根与系数的关系，可得，解得.

故答案为：.

13．【答案】

【解析】

，由题意在时恒成立，

即在时恒成立，，

由对勾函数性质知在单调递增，所以，

所以，即．

故答案为：．

14．【答案】4

【解析】分析：根据的值域求出的取值范围，而，所以；再令，构造函数，再根据导数求出其最大值即可.

详解：解：函数的图象如图所示，

由题意，，即，

因为，

所以，

令，

构造函数，，

所以当时，，

所以的最大值为4.

故答案为：4.

【点睛】

本题主要考查利用导数求函数的最值，考查函数的构造能力．数学运算求解能力，属于中等题型.

15．【答案】

【解析】

设，

则，易知是偶函数.

当时，，，∴；

当时，，，.

∴恒成立，即在定义域内单调递增.

因为，

∴为奇函数，∴的图象关于点对称，

因为，

∴，

同理可得.

则，

∴，即，

故.

故答案为：