人教B版 (2019)选择性必修 第三册第六章 导数及其应用6.2 利用导数研究函数的性质6.2.1导数与函数的单调性同步训练题

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【精编】6.2.1 导数与函数的单调性-1随堂练习一．填空题1．已知，，，则的最小值是__________；2．函数取最大值时的值为___________.3．若对于，不等式恒成立，则a的最大值为___________.4．设函数，，若存在．使得成立，则的最小值为时，实数______．5．函数的极大值为___________.6．当x≠0时，函数f(x)满足，写出一个满足条件的函数解析式f(x)=________．7．已知函数的定义域为，且，对于，有成立，则不等式：的解集为___________.8．若对任意的实数，不等式恒成立，则正数k的取值范围是__________．9．已知函数，若函数的最大值为11，则实数a的值为___________.10．已知在区间上，，，对轴上任意两点，都有．若，，，则，，的大小关系为____________．11．写出一个定义在R上且使得命题“若，则0为函数的极值点”为假命题的奇函数___________.12．已知函数满足，且存在正实数使得不等式成立，则的取值范围为___________.13．函数既有单调递增区间，又有单调递减区间，则的取值范围是________．14．对于函数，有下列4个论断：甲：函数有两个减区间；乙：函数的图象过点；丙：函数在处取极大值；丁：函数单调.若其中有且只有两个论断正确，则的取值为______.15．关于x的不等式恰有一个解，则实数a的取值范围是__________．参考答案与试题解析1．【答案】【解析】分析：使用基本不等式可得的范围，然后化简所求式子，并构造函数，最后根据函数单调性可知结果.详解：由题可知：，，所以（当且仅当时取等号）令，设所以，所以函数在单调递减所以，即的最小值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键在于基本不等式的使用以及构造函数.2．【答案】【解析】分析：求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数取最大值时x的值即可.详解：解：令，即，解得：或或，时时，，故在[上单调递增，在上单调递减，故时，取最大值，故答案为：【点睛】本题考查函数的单调性问题，考查导数的应用，考查运算求解能力，是中档题.3．【答案】1【解析】分析：由已知可得，不等式化为在恒成立，令，不等式化为，再根据的单调性，再将不等式转化为恒成立，即可求出的范围.详解：对于，不等式恒成立，所以，不等式化为，令，即在上恒成立，单调递减，单调递增，且当时，，当时，，要使在上恒成立，只需上恒成立，所以，即的最大值为.故答案为：1.【点睛】将不等式两边化为同结构式，把不等式转化为函数值的大小是解题的关键.4．【答案】【解析】分析：分析可知函数在区间上的最小值为，利用导数分析函数在区间上的单调性，结合可求得实数的值.详解：设，由可得，，的最小值为，即求函数在区间上的最小值为，且，当时，，，则，所以，函数在区间上为增函数，所以，，解得.故答案为：.【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与．比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.5．【答案】【解析】分析：对函数求导，根据函数单调性，即可求得函数的极大值.详解：令，则.所以当时，；当时，.所以当时，函数有极大值为.故答案为：.6．【答案】【解析】分析：先列举一个满足条件的函数解析式，再证明.详解：设，所以，所以在单调递增，在单调递减，所以所以；设，所以；故答案为：【点睛】方法点睛：对于这种开放性试题，一般先要根据已知条件，找到一个满足已知条件的函数解析式，再进行证明.7．【答案】【解析】解：令，则，，，在R单调递增，，，即，即，又在R单调递增，不等式的解集为.故答案为：.8．【答案】【解析】，，，令，，即在上单调递增，则，令，，时，时，在上递增，在上递减，时，即，正数k的取值范围是.故答案为：9．【答案】1或3【解析】时，，即在上单调递增，时，，，有在上都递增，在上递减，，有在上递增，在上递减，，有在上递增，综上得：时，在上单调递增，时，在上递增，在上递减，在上递增，时，在上递增，在上递减，在上递增，因，时，，解得或，无解，时，的最大值只可能是或，而，于是有，则，时，的最大值只可能是或，而，于是有，则，所以实数a的值为为1或3.10．【答案】【解析】由题意可知，函数在区间上单调递增，且图象在区间上是上凸的，现画出满足题意的一个函数图象，因为，，，所以为 的图象与直线，及轴围成的图形面积，，，因此.故答案为：.11．【答案】(答案不唯一)【解析】分析：写出一个函数满足“，0不是函数的极值点，奇函数”即可.详解：由题意，，但0不是函数的极值点，且为奇函数，所以满足题意的一个可以是.故答案为：.12．【答案】【解析】分析：求导得，进而得，，故详解：因为，所以，∴，∴，因为，∴，因此，，∴，当时，，所以函数在区间上单调递增，，由题意知，即，∴.的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查导数的运算，利用导数研究不等式能成立问题，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于将问题转化为，进而研究函数在区间的单调性，求最小值即可.13．【答案】【解析】∵，由条件知需有两个不等实根，∴，∴，即，故答案为：.14．【答案】2【解析】分析：对函数求导后即可判断出甲错误，由于丙．丁相悖，分别讨论丙与丁正确，即可得出答案.详解：（）若甲正确，函数在有两个减区间，记，则在有两个解且开口向下,则无解，即甲错误.因为丙丁相悖.所以若丁正确，则甲丙错误．乙丁正确.，(或)在恒成立.即(或)在恒成立.即.若丁错误，则甲丁错误．乙丙正确.此时此时在处取极小值，与丙矛盾，舍去.综上所述：.故答案为：2.【点睛】本题考查函数的极值与单调性.属于难题.其中需要注意的是极值点是导函数的异号零点，利用导函数为0解出来的极值点，一定要检验其是否真正的极值点.15．【答案】.【解析】分析：设，当和时，不符合题意，当时，得到，必有，解得，再结合函数的单调性与最值，即可求解.详解：设函数，若时，当时，，此时不等式，有无穷多个整数解，不符合题意；若时，无解，不符合题意；若时，可得，则必有，解得，所以，当时，可得，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在单调递增，当时，；当时，，即当时，恰好有一个整数解，即为，即，综上可得，实数a的取值范围是.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：