高中6.2.1导数与函数的单调性习题

【名师】6.2.1 导数与函数的单调性-2随堂练习

一．填空题

1．

已知函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)的单调递增区间是________.

2．

设函数，则不等式的解集是_____.

3．

若，函数为增函数，则实数的取值范围为______.

4．

若函数的单调递减区间为，则_________．

5．

函数的单调递减区间是___________.

6．

已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系正确的是______．

7．

设定义域为R的函数满足，且，则不等式的解集_____．

8．已知，，，则的最大值为_______.

9．

若在其定义域内为增函数，则实数a的取值范围是________．

10．

已知关于的不等式：(的解集为，则的最大值为________

11．

已知函数，关于函数给出下列命题：

①函数为偶函数；

②函数在区间单调递增；

③函数存在两个零点；

④函数存在极大值和极小值．

其中正确命题的序号是________．

12．

函数的单调递增区间是________.

13．

设函数若函数有两个零点，则实数b的取值集合为________．

14．

已知，若关于的方程有四个不等实根，则实数的取值范围为______．

15．已知直线与曲线相切，则的最大值为______.

参考答案与试题解析

1．【答案】和

【解析】

由y＝f ′(x)的图象可得当和时，，此时单调递增，

所以函数f (x)的单调递增区间是和.

故答案为：和.

2．【答案】

【解析】

解：的定义域为，

因为，

所以为偶函数，

当时，，则，

所以在上为减函数，

所以由，得，得，

解得，

故答案为：

3．【答案】

【解析】

为上的增函数，对恒成立，

，，，解得：，

实数的取值范围为.

故答案为：.

4．【答案】

【解析】

由题意，所以的两根为和3，

所以，所以，

．

故答案为：．

5．【答案】

【解析】

定义域为，

，

令即，解得： ，

所以函数的单调减区间是

故答案为：

6．【答案】

【解析】

解：定义域为的奇函数，

为上的偶函数，

当时，，

当时，，

当时，，

即在单调递增，在单调递减．

，，，

，

．

即．

故答案为：．

7．【答案】

【解析】

令函数，可得，

因为且，可得，可得为单调递减函数，

由不等式，即，又由，即，

即，所以，即不等式的解集为.

故答案为：.

8．【答案】

【解析】分析：依题意可得，从而可得，将化为，令利用基本不等式求出的范围，构造函数，，利用导数研究函数的最值，从而得解；

详解：解：因为，即

所以

所以

令，所以，，

所以，令解得，即在上单调递增，令解得，即在上单调递减，所以

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化思想，属于中档题.

9．【答案】

【解析】

依题意，函数的定义域为，，

因在其定义域内为增函数，

则，，

而时，，当且仅当时取“=”，

于是在时，取得最大值，则，

所以实数a的取值范围是.

故答案为：

10．【答案】

【解析】

依题意，(的解集为等价于，

令，，而，则时时，

在上单调递减，在上单调递增，，

从而有，

令，时时，

即在上递增，在上递减，时，，

即当且仅当时取“=”，

所以的最大值为.

故答案为：

11．【答案】①②④

【解析】

①：定义域为，，

则函数为偶函数，故①正确；

②：当时，，

令，则，

由解得，

则当时，单调递增，

又由及可知，

即对恒成立，

则函数在区间单调递增，故②正确；

③：由②可知，

在单调递增，单调递减，

又，，，

由零点存在定理知，，使得，

在单调递减，单调递增，单调递减.

又，，，

由零点存在定理可知，在上有两个零点，

又由为偶函数可知，其在上存在四个零点，故③错误；

④：由③可知为极小值，为极大值，

又由偶函数可知，为极小值，为极大值，

故④正确.

故答案为：①②④.

12．【答案】

【解析】

，，

令，即，解得，

的单调递增区间是.

故答案为：.

13．【答案】

【解析】

解：当时，函数单调递增；

当时，，则时，，

所以当时，，时，，

故当时，在上单调递减，在上单调递增，

所以在处取极小值，极小值为；

作出函数的图象如图：

因为函数有两个零点，

所以函数与有两个交点，

所以当时函数与有两个交点，

所以实数b的取值集合为

故答案为：

14．【答案】

【解析】

当时，，，令，得，当时，，当时，，

所以当时，在上单调递增，在上单调递减，

，，时，，

当时，，，所以当时，在上单调递增，

当时，，时，，时，，

故的大致图像如下：

令，则关于的方程有四个不等实根，转化为关于的方程有2个不等实根，且两个根满足，，

所以 ，解得，则实数的取值范围为，

故答案为：.

15．【答案】

【解析】分析：设切点，利用和可得出，即，构造函数，求出导数，利用导数即可求出最值.

详解：设切点，

则 ，得，

又，得，

则，

所以，

令，

则，

故当时，；当时，，

故当时取得极大值即最大值.

故答案为：e.

【点睛】

本题考查导数与切线关系，考查利用导数求最值，属于中档题.